Theorem tchcphlem1 23034

Description: Lemma for tchcph 23036: the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
tchcph.k	|- K = ( Base ` F )
tchcph.m	|- .- = ( -g ` W )
tchcphlem1.3	|- ( ph -> X e. V )
tchcphlem1.4	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
tchcphlem1	|- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W   x, X   x, Y

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcphlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchcph.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. PreHil )
2		phllmod 19975	. . . . . . 7 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
3		lmodgrp 18870	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Grp )
5		tchcphlem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
6		tchcphlem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. V )
7		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		tchcph.m	. . . . . . 7 |- .- = ( -g ` W )
9	7, 8	grpsubcl 17495	. . . . . 6 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) e. V )
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .- Y ) e. V )
11		tchval.n	. . . . . 6 |- G = (toCHil ` W )
12		tchcph.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
13		tchcph.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
14		tchcph.h	. . . . . 6 |- ., = ( .i ` W )
15	11, 7, 12, 1, 13, 14	tchcphlem3 23032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X .- Y ) e. V ) -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) e. RR )
16	10, 15	mpdan 702	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) e. RR )
17	11, 7, 12, 1, 13, 14	tchcphlem3 23032	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. V ) -> ( X ., X ) e. RR )
18	5, 17	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ., X ) e. RR )
19	11, 7, 12, 1, 13, 14	tchcphlem3 23032	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y e. V ) -> ( Y ., Y ) e. RR )
20	6, 19	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y ., Y ) e. RR )
21	18, 20	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) e. RR )
22	11, 7, 12, 1, 13	tchclm 23031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CMod )
23		tchcph.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( Base ` F )
24	12, 23	clmsscn 22879	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CMod -> K C_ CC )
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K C_ CC )
26	12, 14, 7, 23	ipcl 19978	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. PreHil /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X ., Y ) e. K )
27	1, 5, 6, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ., Y ) e. K )
28	25, 27	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ., Y ) e. CC )
29	12, 14, 7, 23	ipcl 19978	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. PreHil /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( Y ., X ) e. K )
30	1, 6, 5, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y ., X ) e. K )
31	25, 30	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y ., X ) e. CC )
32	28, 31	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) e. CC )
33	32	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) e. RR )
34	21, 33	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) e. RR )
35	18	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ., X ) e. CC )
36		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
37		tchcph.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
38	37	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) )
39		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = X /\ x = X ) -> ( x ., x ) = ( X ., X ) )
40	39	anidms 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x ., x ) = ( X ., X ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( 0 <_ ( x ., x ) <-> 0 <_ ( X ., X ) ) )
42	41	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. V -> ( A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) -> 0 <_ ( X ., X ) ) )
43	5, 38, 42	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( X ., X ) )
44	18, 43	resqrtcld 14156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` ( X ., X ) ) e. RR )
45		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = Y /\ x = Y ) -> ( x ., x ) = ( Y ., Y ) )
46	45	anidms 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = Y -> ( x ., x ) = ( Y ., Y ) )
47	46	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> ( 0 <_ ( x ., x ) <-> 0 <_ ( Y ., Y ) ) )
48	47	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. V -> ( A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) -> 0 <_ ( Y ., Y ) ) )
49	6, 38, 48	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( Y ., Y ) )
50	20, 49	resqrtcld 14156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` ( Y ., Y ) ) e. RR )
51	44, 50	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) e. RR )
52		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) e. RR )
53	36, 51, 52	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) e. RR )
54	53	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) e. CC )
55	20	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y ., Y ) e. CC )
56	35, 54, 55	add32d 10263	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) )
57	21, 53	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) e. RR )
58	56, 57	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) e. RR )
59		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( X .- Y ) /\ x = ( X .- Y ) ) -> ( x ., x ) = ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) )
60	59	anidms 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X .- Y ) -> ( x ., x ) = ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) )
61	60	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( X .- Y ) -> ( 0 <_ ( x ., x ) <-> 0 <_ ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) )
62	61	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( X .- Y ) e. V -> ( A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) -> 0 <_ ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) )
63	10, 38, 62	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) )
64	16, 63	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) = ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) )
65	12	clmadd 22874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. CMod -> + = ( +g ` F ) )
66	22, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> + = ( +g ` F ) )
67	66	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) = ( ( X ., X ) ( +g ` F ) ( Y ., Y ) ) )
68	66	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) = ( ( X ., Y ) ( +g ` F ) ( Y ., X ) ) )
69	67, 68	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ( -g ` F ) ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) = ( ( ( X ., X ) ( +g ` F ) ( Y ., Y ) ) ( -g ` F ) ( ( X ., Y ) ( +g ` F ) ( Y ., X ) ) ) )
70	12, 14, 7, 23	ipcl 19978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ X e. V /\ X e. V ) -> ( X ., X ) e. K )
71	1, 5, 5, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ., X ) e. K )
72	12, 14, 7, 23	ipcl 19978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. PreHil /\ Y e. V /\ Y e. V ) -> ( Y ., Y ) e. K )
73	1, 6, 6, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y ., Y ) e. K )
74	12, 23	clmacl 22884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. CMod /\ ( X ., X ) e. K /\ ( Y ., Y ) e. K ) -> ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) e. K )
75	22, 71, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) e. K )
76	12, 23	clmacl 22884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. CMod /\ ( X ., Y ) e. K /\ ( Y ., X ) e. K ) -> ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) e. K )
77	22, 27, 30, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) e. K )
78	12, 23	clmsub 22880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. CMod /\ ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) e. K /\ ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) e. K ) -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ( -g ` F ) ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) )
79	22, 75, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ( -g ` F ) ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -g ` F ) = ( -g ` F )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
82	12, 14, 7, 8, 80, 81, 1, 5, 6, 5, 6	ip2subdi 19989	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) = ( ( ( X ., X ) ( +g ` F ) ( Y ., Y ) ) ( -g ` F ) ( ( X ., Y ) ( +g ` F ) ( Y ., X ) ) ) )
83	69, 79, 82	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
85	64, 84	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) = ( abs ` ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
86	25, 75	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) e. CC )
87	86, 32	abs2dif2d 14197	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) - ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
88	85, 87	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) <_ ( ( abs ` ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
89	18, 20, 43, 49	addge0d 10603	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) )
90	21, 89	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ) = ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
92	88, 91	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) <_ ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) )
93	28	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( X ., Y ) ) e. RR )
94		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( abs ` ( X ., Y ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) e. RR )
95	36, 93, 94	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) e. RR )
96	28, 31	abstrid 14195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) <_ ( ( abs ` ( X ., Y ) ) + ( abs ` ( Y ., X ) ) ) )
97	93	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( X ., Y ) ) e. CC )
98	97	2timesd 11275	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) = ( ( abs ` ( X ., Y ) ) + ( abs ` ( X ., Y ) ) ) )
99	28	abscjd 14189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( * ` ( X ., Y ) ) ) = ( abs ` ( X ., Y ) ) )
100	12	clmcj 22876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. CMod -> * = ( *r ` F ) )
101	22, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> * = ( *r ` F ) )
102	101	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( * ` ( X ., Y ) ) = ( ( *r ` F ) ` ( X ., Y ) ) )
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( *r ` F ) = ( *r ` F )
104	12, 14, 7, 103	ipcj 19979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. PreHil /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( *r ` F ) ` ( X ., Y ) ) = ( Y ., X ) )
105	1, 5, 6, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( *r ` F ) ` ( X ., Y ) ) = ( Y ., X ) )
106	102, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( * ` ( X ., Y ) ) = ( Y ., X ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( * ` ( X ., Y ) ) ) = ( abs ` ( Y ., X ) ) )
108	99, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( X ., Y ) ) = ( abs ` ( Y ., X ) ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( X ., Y ) ) + ( abs ` ( X ., Y ) ) ) = ( ( abs ` ( X ., Y ) ) + ( abs ` ( Y ., X ) ) ) )
110	98, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) = ( ( abs ` ( X ., Y ) ) + ( abs ` ( Y ., X ) ) ) )
111	96, 110	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) <_ ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) )
112		tchcph.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
113		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( norm ` G ) = ( norm ` G )
114		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ., X ) / ( Y ., Y ) ) = ( ( Y ., X ) / ( Y ., Y ) )
115	11, 7, 12, 1, 13, 14, 112, 37, 23, 113, 114, 5, 6	ipcau2 23033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( X ., Y ) ) <_ ( ( ( norm ` G ) ` X ) x. ( ( norm ` G ) ` Y ) ) )
116	11, 113, 7, 14	tchnmval 23028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` X ) = ( sqr ` ( X ., X ) ) )
117	4, 5, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( norm ` G ) ` X ) = ( sqr ` ( X ., X ) ) )
118	11, 113, 7, 14	tchnmval 23028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Grp /\ Y e. V ) -> ( ( norm ` G ) ` Y ) = ( sqr ` ( Y ., Y ) ) )
119	4, 6, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( norm ` G ) ` Y ) = ( sqr ` ( Y ., Y ) ) )
120	117, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( norm ` G ) ` X ) x. ( ( norm ` G ) ` Y ) ) = ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )
121	115, 120	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( X ., Y ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )
122	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. RR )
123		2pos 11112	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
124	123	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < 2 )
125		lemul2 10876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( X ., Y ) ) e. RR /\ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ., Y ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) <-> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) )
126	93, 51, 122, 124, 125	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( X ., Y ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) <-> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) )
127	121, 126	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( abs ` ( X ., Y ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) )
128	33, 95, 53, 111, 127	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) <_ ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) )
129	33, 53, 21, 128	leadd2dd 10642	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) <_ ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) )
130	129, 56	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X ., X ) + ( Y ., Y ) ) + ( abs ` ( ( X ., Y ) + ( Y ., X ) ) ) ) <_ ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) )
131	16, 34, 58, 92, 130	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) <_ ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) )
132	16	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) e. CC )
133	132	sqsqrtd 14178	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) )
134	35	sqrtcld 14176	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` ( X ., X ) ) e. CC )
135	50	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` ( Y ., Y ) ) e. CC )
136		binom2 12979	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( Y ., Y ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ^ 2 ) ) )
137	134, 135, 136	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ^ 2 ) ) )
138	35	sqsqrtd 14178	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( X ., X ) ) ^ 2 ) = ( X ., X ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) = ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) )
140	55	sqsqrtd 14178	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ^ 2 ) = ( Y ., Y ) )
141	139, 140	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) )
142	137, 141	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( X ., X ) + ( 2 x. ( ( sqr ` ( X ., X ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ) ) + ( Y ., Y ) ) )
143	131, 133, 142	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ^ 2 ) )
144	16, 63	resqrtcld 14156	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) e. RR )
145	44, 50	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) e. RR )
146	16, 63	sqrtge0d 14159	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) )
147	18, 43	sqrtge0d 14159	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` ( X ., X ) ) )
148	20, 49	sqrtge0d 14159	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` ( Y ., Y ) ) )
149	44, 50, 147, 148	addge0d 10603	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )
150	144, 145, 146, 149	le2sqd 13044	. 2 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) <-> ( ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
151	143, 150	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .- Y ) ., ( X .- Y ) ) ) <_ ( ( sqr ` ( X ., X ) ) + ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ^cexp 12860   *ccj 13836   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   *rcstv 15943  Scalarcsca 15944   .icip 15946   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   LModclmod 18863  ℂ_fldccnfld 19746   PreHilcphl 19969   normcnm 22381  CModcclm 22862  toCHilctch 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-nm 22387  df-tng 22389  df-clm 22863  df-tch 22969

This theorem is referenced by:  tchcph  23036