Theorem telgsumfzs 18386

Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfzs.b	|- B = ( Base ` G )
telgsumfzs.g	|- ( ph -> G e. Abel )
telgsumfzs.m	|- .- = ( -g ` G )
telgsumfzs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
telgsumfzs.f	|- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B )

Assertion

Ref	Expression
telgsumfzs	|- ( ph -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) )

Distinct variable groups:   B, i, k   C, i   i, G   i, M, k   .- , i   ph, i   i, N, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   G( k)   .- ( k)

Proof of Theorem telgsumfzs

Dummy variables y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsumfzs.f	. 2 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B )
2		telgsumfzs.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( x + 1 ) = ( M + 1 ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( M ... ( x + 1 ) ) = ( M ... ( M + 1 ) ) )
5	4	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B <-> A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) )
6	5	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) <-> ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
8	7	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
10	3	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> [_ ( x + 1 ) / k ]_ C = [_ ( M + 1 ) / k ]_ C )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) <-> ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) ) )
13	6, 12	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) ) <-> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
14		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x + 1 ) = ( y + 1 ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( M ... ( x + 1 ) ) = ( M ... ( y + 1 ) ) )
16	15	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B <-> A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) <-> ( ph /\ A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) ) )
18		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( M ... x ) = ( M ... y ) )
19	18	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
21	14	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> [_ ( x + 1 ) / k ]_ C = [_ ( y + 1 ) / k ]_ C )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) <-> ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) )
24	17, 23	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) ) <-> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( y + 1 ) + 1 ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M ... ( x + 1 ) ) = ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
27	26	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B <-> A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) <-> ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( y + 1 ) ) )
30	29	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
32	25	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> [_ ( x + 1 ) / k ]_ C = [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) )
34	31, 33	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) <-> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) )
35	28, 34	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) ) <-> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
36		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( x + 1 ) = ( N + 1 ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( M ... ( x + 1 ) ) = ( M ... ( N + 1 ) ) )
38	37	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B <-> A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B ) )
39	38	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) <-> ( ph /\ A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B ) ) )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( M ... x ) = ( M ... N ) )
41	40	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
43	36	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> [_ ( x + 1 ) / k ]_ C = [_ ( N + 1 ) / k ]_ C )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) )
45	42, 44	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) <-> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) ) )
46	39, 45	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( x + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... x ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( x + 1 ) / k ]_ C ) ) <-> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
47		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
48	2, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> M e. ZZ )
50		fzsn 12383	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( M ... M ) = { M } )
52	51	mpteq1d 4738	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) = ( i e. { M } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( G gsumg ( i e. { M } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
54		telgsumfzs.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
55		telgsumfzs.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Abel )
56		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. Grp )
58		grpmnd 17429	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. Mnd )
60	59	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> G e. Mnd )
61	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> G e. Grp )
62		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
63	49, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
64		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
66		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( M + 1 ) ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> M e. ( M ... ( M + 1 ) ) )
68		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( M ... ( M + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> [_ M / k ]_ C e. B )
69	67, 68	sylancom 701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> [_ M / k ]_ C e. B )
70		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( M ... ( M + 1 ) ) )
71	65, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( M + 1 ) e. ( M ... ( M + 1 ) ) )
72		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + 1 ) e. ( M ... ( M + 1 ) ) /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( M + 1 ) / k ]_ C e. B )
73	71, 72	sylancom 701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> [_ ( M + 1 ) / k ]_ C e. B )
74		telgsumfzs.m	. . . . . . . . . 10 |- .- = ( -g ` G )
75	54, 74	grpsubcl 17495	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ [_ M / k ]_ C e. B /\ [_ ( M + 1 ) / k ]_ C e. B ) -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
76	61, 69, 73, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) e. B )
77		csbeq1 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> [_ i / k ]_ C = [_ M / k ]_ C )
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = M -> ( i + 1 ) = ( M + 1 ) )
79	78	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( i = M -> [_ ( i + 1 ) / k ]_ C = [_ ( M + 1 ) / k ]_ C )
80	77, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( i = M -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) )
81	80	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) /\ i = M ) -> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) )
82	54, 60, 49, 76, 81	gsumsnd 18352	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. { M } |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) )
83	53, 82	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) )
84	83	a1i 11	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( M + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... M ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( M + 1 ) / k ]_ C ) ) )
85	54, 55, 74	telgsumfzslem 18385	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) )
86	85	ex 450	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> ( ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
87		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> y e. ZZ )
88	87	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
89	88	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ZZ )
90		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( y + 1 ) e. ZZ )
91	90	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( y + 1 ) e. RR )
92	87, 91	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) e. RR )
93	92	lep1d 10955	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( y + 1 ) <_ ( ( y + 1 ) + 1 ) )
94		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) <-> ( ( y + 1 ) e. ZZ /\ ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
95	88, 89, 93, 94	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) )
96		fzss2 12381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) C_ ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( y + 1 ) ) C_ ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) )
98		ssralv 3666	. . . . . . . 8 |- ( ( M ... ( y + 1 ) ) C_ ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B -> A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B -> A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) )
100	99	adantld 483	. . . . . 6 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) )
101	86, 100	a2and 853	. . . . 5 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( y + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... y ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( y + 1 ) / k ]_ C ) ) -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( ( y + 1 ) + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... ( y + 1 ) ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( ( y + 1 ) + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
102	13, 24, 35, 46, 84, 101	uzind4 11746	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B ) -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) ) )
103	102	expd 452	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) ) ) )
104	2, 103	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A. k e. ( M ... ( N + 1 ) ) C e. B -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) ) )
105	1, 104	mpd 15	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( i e. ( M ... N ) |-> ( [_ i / k ]_ C .- [_ ( i + 1 ) / k ]_ C ) ) ) = ( [_ M / k ]_ C .- [_ ( N + 1 ) / k ]_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  telgsumfz  18387  telgsumfz0s  18388