Theorem tgbtwnconn1lem3 25469

Description: Lemma for tgbtwnconn1 25470. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn1.p	|- P = ( Base ` G )
tgbtwnconn1.i	|- I = (Itv ` G )
tgbtwnconn1.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwnconn1.a	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwnconn1.b	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwnconn1.c	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwnconn1.d	|- ( ph -> D e. P )
tgbtwnconn1.1	|- ( ph -> A =/= B )
tgbtwnconn1.2	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgbtwnconn1.3	|- ( ph -> B e. ( A I D ) )
tgbtwnconn1.m	|- .- = ( dist ` G )
tgbtwnconn1.e	|- ( ph -> E e. P )
tgbtwnconn1.f	|- ( ph -> F e. P )
tgbtwnconn1.h	|- ( ph -> H e. P )
tgbtwnconn1.j	|- ( ph -> J e. P )
tgbtwnconn1.4	|- ( ph -> D e. ( A I E ) )
tgbtwnconn1.5	|- ( ph -> C e. ( A I F ) )
tgbtwnconn1.6	|- ( ph -> E e. ( A I H ) )
tgbtwnconn1.7	|- ( ph -> F e. ( A I J ) )
tgbtwnconn1.8	|- ( ph -> ( E .- D ) = ( C .- D ) )
tgbtwnconn1.9	|- ( ph -> ( C .- F ) = ( C .- D ) )
tgbtwnconn1.10	|- ( ph -> ( E .- H ) = ( B .- C ) )
tgbtwnconn1.11	|- ( ph -> ( F .- J ) = ( B .- D ) )
tgbtwnconn1.x	|- ( ph -> X e. P )
tgbtwnconn1.12	|- ( ph -> X e. ( C I E ) )
tgbtwnconn1.13	|- ( ph -> X e. ( D I F ) )
tgbtwnconn1.14	|- ( ph -> C =/= E )

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn1lem3	|- ( ph -> D = F )

Proof of Theorem tgbtwnconn1lem3

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn1.p	. . . . . 6 |- P = ( Base ` G )
2		tgbtwnconn1.m	. . . . . 6 |- .- = ( dist ` G )
3		tgbtwnconn1.i	. . . . . 6 |- I = (Itv ` G )
4		tgbtwnconn1.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> G e. TarskiG )
6		tgbtwnconn1.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. P )
7	6	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> F e. P )
8		tgbtwnconn1.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. P )
9	8	ad6antr 772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> D e. P )
10		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> q e. P )
11	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> G e. TarskiG )
12	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> D e. P )
13		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> q e. P )
14	1, 2, 3, 11, 12, 13	tgcgrtriv 25379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( D .- D ) = ( q .- q ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> F = X )
16		tgbtwnconn1.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. P )
17	16	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> X e. P )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> X e. P )
19		tgbtwnconn1.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. P )
20		tgbtwnconn1.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E e. P )
21		tgbtwnconn1.12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. ( C I E ) )
22		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- E ) )
23		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X .- E ) = ( X .- E ) )
24		tgbtwnconn1.9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C .- F ) = ( C .- D ) )
25	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C .- D ) = ( C .- F ) )
26		tgbtwnconn1.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E .- D ) = ( C .- D ) )
27		tgbtwnconn1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. P )
28		tgbtwnconn1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. P )
29		tgbtwnconn1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A =/= B )
30		tgbtwnconn1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
31		tgbtwnconn1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. ( A I D ) )
32		tgbtwnconn1.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. P )
33		tgbtwnconn1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> J e. P )
34		tgbtwnconn1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. ( A I E ) )
35		tgbtwnconn1.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( A I F ) )
36		tgbtwnconn1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. ( A I H ) )
37		tgbtwnconn1.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( A I J ) )
38		tgbtwnconn1.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( E .- H ) = ( B .- C ) )
39		tgbtwnconn1.11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F .- J ) = ( B .- D ) )
40	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem2 25468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E .- F ) = ( C .- D ) )
41	26, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E .- D ) = ( E .- F ) )
42	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 8, 19, 16, 20, 6, 21, 21, 22, 23, 25, 41	tgifscgr 25403	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X .- D ) = ( X .- F ) )
43	42	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( X .- D ) = ( X .- F ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( X .- D ) = ( X .- F ) )
45	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( X .- F ) = ( X .- X ) )
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( X .- D ) = ( X .- X ) )
47	1, 2, 3, 11, 18, 12, 18, 46	axtgcgrid 25362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> X = D )
48	15, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> F = D )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( F .- D ) = ( D .- D ) )
50	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> F e. P )
51		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) -> p e. P )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> p e. P )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> p e. P )
54		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> r e. P )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> r e. P )
56	19	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. P )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ C = F ) -> C = F )
58	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ C = F ) -> G e. TarskiG )
59	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ C = F ) -> C e. P )
60	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ C = F ) -> F e. P )
61	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ C = F ) -> E e. P )
62	24, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( C .- F ) = ( E .- F ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ C = F ) -> ( C .- F ) = ( E .- F ) )
64	1, 2, 3, 58, 59, 60, 61, 60, 63, 57	tgcgreq 25377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ C = F ) -> E = F )
65	57, 64	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ C = F ) -> C = E )
66		tgbtwnconn1.14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> C =/= E )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ C = F ) -> C =/= E )
68	67	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ C = F ) -> -. C = E )
69	65, 68	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. C = F )
70	69	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C =/= F )
71	70	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F =/= C )
72	71	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> F =/= C )
73		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) )
74	73	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( F I r ) )
75	20	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> E e. P )
76	1, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 21	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. ( E I C ) )
77	76	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> X e. ( E I C ) )
78		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) )
79	78	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( E I p ) )
80	1, 2, 3, 5, 75, 17, 56, 52, 77, 79	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( X I p ) )
81	1, 2, 3, 5, 17, 56, 52, 80	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( p I X ) )
82	78	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- p ) = ( C .- F ) )
83	82	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- F ) = ( C .- p ) )
84	1, 2, 3, 5, 56, 7, 56, 52, 83	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- C ) = ( p .- C ) )
85	73	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- r ) = ( C .- X ) )
86	1, 2, 3, 5, 7, 52	axtgcgrrflx 25361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- p ) = ( p .- F ) )
87	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 52, 56, 17, 52, 7, 72, 74, 81, 84, 85, 86, 82	axtg5seg 25364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( r .- p ) = ( X .- F ) )
88	87	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( X .- F ) = ( r .- p ) )
89	1, 2, 3, 5, 17, 7, 54, 52, 88	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- X ) = ( p .- r ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( F .- X ) = ( p .- r ) )
91	1, 2, 3, 11, 50, 18, 53, 55, 90, 15	tgcgreq 25377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> p = r )
92		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( r .- q ) = ( r .- p ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( r .- q ) = ( r .- p ) )
94	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( r .- p ) = ( r .- r ) )
95	93, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( r .- q ) = ( r .- r ) )
96	1, 2, 3, 11, 55, 13, 55, 95	axtgcgrid 25362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> r = q )
97	91, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> p = q )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( p .- q ) = ( q .- q ) )
99	14, 49, 98	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( F .- D ) = ( p .- q ) )
100	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> G e. TarskiG )
101	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> F e. P )
102	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> X e. P )
103	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> D e. P )
104	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> p e. P )
105	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> r e. P )
106		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> q e. P )
107		tgbtwnconn1.13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( D I F ) )
108	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 107	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ( F I D ) )
109	108	ad7antr 774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> X e. ( F I D ) )
110		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> r e. ( p I q ) )
111	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( F .- X ) = ( p .- r ) )
112	87, 92, 43	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( X .- D ) = ( r .- q ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( X .- D ) = ( r .- q ) )
114	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 111, 113	tgcgrextend 25380	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( F .- D ) = ( p .- q ) )
115	99, 114	pm2.61dane 2881	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- D ) = ( p .- q ) )
116		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (LineG ` G ) = (LineG ` G )
117		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
118	66	ad6antr 772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C =/= E )
119	1, 116, 3, 5, 56, 52, 75, 79	btwncolg2 25451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( E e. ( C (LineG ` G ) p ) \/ C = p ) )
120	24	ad6antr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- F ) = ( C .- D ) )
121	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( F .- C ) = ( p .- C ) )
122	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( F .- C ) = ( D .- C ) )
123	97	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( p .- C ) = ( q .- C ) )
124	121, 122, 123	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F = X ) -> ( D .- C ) = ( q .- C ) )
125	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> C e. P )
126		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> F =/= X )
127	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( F .- C ) = ( p .- C ) )
128	85	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- X ) = ( C .- r ) )
129	1, 2, 3, 5, 56, 17, 56, 54, 128	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( X .- C ) = ( r .- C ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( X .- C ) = ( r .- C ) )
131	1, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 125, 126, 109, 110, 111, 113, 127, 130	axtg5seg 25364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ F =/= X ) -> ( D .- C ) = ( q .- C ) )
132	124, 131	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( D .- C ) = ( q .- C ) )
133	1, 2, 3, 5, 9, 56, 10, 56, 132	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- D ) = ( C .- q ) )
134	82, 120, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( C .- p ) = ( C .- q ) )
135	28	ad6antr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> B e. P )
136	33	ad6antr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> J e. P )
137	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> G e. TarskiG )
138	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> J e. P )
139	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> C e. P )
140	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch 25393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> C e. ( A I J ) )
141	1, 2, 3, 4, 27, 28, 19, 33, 30, 140	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. ( B I J ) )
142	141	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> C e. ( B I J ) )
143		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> B = J )
144	143	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> ( B I J ) = ( J I J ) )
145	142, 144	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> C e. ( J I J ) )
146	1, 2, 3, 137, 138, 139, 145	axtgbtwnid 25365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> J = C )
147	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> F e. P )
148	1, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( C I J ) )
149	1, 2, 3, 4, 28, 19, 6, 33, 141, 148	tgbtwnexch2 25391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. ( B I J ) )
150	149	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> F e. ( B I J ) )
151	150, 144	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> F e. ( J I J ) )
152	1, 2, 3, 137, 138, 147, 151	axtgbtwnid 25365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> J = F )
153	146, 152	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> C = F )
154	69	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ B = J ) -> -. C = F )
155	153, 154	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> -. B = J )
156	155	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> B =/= J )
157	1, 2, 3, 4, 27, 28, 8, 20, 31, 34	tgbtwnexch 25393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I E ) )
158	1, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39	tgbtwnconn1lem1 25467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H = J )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A I H ) = ( A I J ) )
160	36, 159	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. ( A I J ) )
161	1, 2, 3, 4, 27, 28, 20, 33, 157, 160	tgbtwnexch3 25389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. ( B I J ) )
162	161	ad6antr 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> E e. ( B I J ) )
163	1, 116, 3, 5, 135, 75, 136, 162	btwncolg3 25452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( J e. ( B (LineG ` G ) E ) \/ B = E ) )
164	70	ad6antr 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C =/= F )
165	1, 2, 3, 4, 6, 19, 28, 33, 148, 141	tgbtwnintr 25388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( F I B ) )
166	165	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( F I B ) )
167	1, 116, 3, 5, 56, 135, 7, 166	btwncolg2 25451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F e. ( C (LineG ` G ) B ) \/ C = B ) )
168	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> G e. TarskiG )
169	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> C e. P )
170	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> r e. P )
171	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> X e. P )
172	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> ( C .- r ) = ( C .- X ) )
173		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> C = r )
174	1, 2, 3, 168, 169, 170, 169, 171, 172, 173	tgcgreq 25377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> C = X )
175	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> E e. P )
176		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( D .- F ) = ( D .- F ) )
177		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X .- F ) = ( X .- F ) )
178	26	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C .- D ) = ( E .- D ) )
179	1, 2, 3, 4, 19, 8, 20, 8, 178	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( D .- C ) = ( D .- E ) )
180	1, 2, 3, 4, 19, 6, 20, 6, 62	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F .- C ) = ( F .- E ) )
181	1, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 19, 8, 16, 6, 20, 107, 107, 176, 177, 179, 180	tgifscgr 25403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X .- C ) = ( X .- E ) )
182	181	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> ( X .- C ) = ( X .- E ) )
183	174	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> ( X .- C ) = ( X .- X ) )
184	182, 183	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> ( X .- E ) = ( X .- X ) )
185	1, 2, 3, 168, 171, 175, 171, 184	axtgcgrid 25362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> X = E )
186	174, 185	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> C = E )
187	66	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. C = E )
188	187	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) /\ C = r ) -> -. C = E )
189	186, 188	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> -. C = r )
190	189	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C =/= r )
191	1, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 74	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> C e. ( r I F ) )
192	1, 116, 3, 5, 56, 7, 54, 191	btwncolg2 25451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( r e. ( C (LineG ` G ) F ) \/ C = F ) )
193	92	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( r .- p ) = ( r .- q ) )
194	1, 116, 3, 5, 56, 54, 7, 117, 52, 10, 2, 190, 192, 134, 193	lncgr 25464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- p ) = ( F .- q ) )
195	1, 116, 3, 5, 56, 7, 135, 117, 52, 10, 2, 164, 167, 134, 194	lncgr 25464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( B .- p ) = ( B .- q ) )
196	148	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> F e. ( C I J ) )
197	1, 116, 3, 5, 56, 136, 7, 196	btwncolg1 25450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F e. ( C (LineG ` G ) J ) \/ C = J ) )
198	1, 116, 3, 5, 56, 7, 136, 117, 52, 10, 2, 164, 197, 134, 194	lncgr 25464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( J .- p ) = ( J .- q ) )
199	1, 116, 3, 5, 135, 136, 75, 117, 52, 10, 2, 156, 163, 195, 198	lncgr 25464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( E .- p ) = ( E .- q ) )
200	1, 116, 3, 5, 56, 75, 52, 117, 10, 56, 2, 118, 119, 134, 199	lnid 25465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> p = q )
201	200	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( p .- q ) = ( q .- q ) )
202	115, 201	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> ( F .- D ) = ( q .- q ) )
203	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 202	axtgcgrid 25362	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> F = D )
204	203	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) /\ q e. P ) /\ ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) ) -> D = F )
205	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> G e. TarskiG )
206	205	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) -> G e. TarskiG )
207		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) -> r e. P )
208	1, 2, 3, 206, 51, 207, 207, 51	axtgsegcon 25363	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) -> E. q e. P ( r e. ( p I q ) /\ ( r .- q ) = ( r .- p ) ) )
209	204, 208	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) /\ r e. P ) /\ ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) ) -> D = F )
210	6	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> F e. P )
211	19	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> C e. P )
212	16	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> X e. P )
213	1, 2, 3, 205, 210, 211, 211, 212	axtgsegcon 25363	. . 3 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> E. r e. P ( C e. ( F I r ) /\ ( C .- r ) = ( C .- X ) ) )
214	209, 213	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ( ph /\ p e. P ) /\ ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) ) -> D = F )
215	1, 2, 3, 4, 20, 19, 19, 6	axtgsegcon 25363	. 2 |- ( ph -> E. p e. P ( C e. ( E I p ) /\ ( C .- p ) = ( C .- F ) ) )
216	214, 215	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> D = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  cgrGccgrg 25405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  tgbtwnconn1  25470