Theorem mtestbdd 24159

Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mtest.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
mtest.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
mtest.s	|- ( ph -> S e. V )
mtest.f	|- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
mtest.m	|- ( ph -> M e. W )
mtest.c	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
mtest.l	|- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
mtest.d	|- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
mtest.t	|- ( ph -> seq N ( oF + , F ) ( ~~> u ` S ) T )

Assertion

Ref	Expression
mtestbdd	|- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( T ` z ) ) <_ x )

Distinct variable groups:   x, k, z, F   k, M, x, z   k, N, x, z   ph, k, x, z   x, T, z   k, Z, x, z   S, k, x, z

Allowed substitution hints:   T( k)   V( x, z, k)   W( x, z, k)

Proof of Theorem mtestbdd

Dummy variables j n m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mtest.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
2		mtest.d	. . 3 |- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
3		mtest.z	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` N )
4		mtest.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
5	4	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. CC )
6	3, 1, 5	serf 12829	. . . . 5 |- ( ph -> seq N ( + , M ) : Z --> CC )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( seq N ( + , M ) ` m ) e. CC )
8	7	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. m e. Z ( seq N ( + , M ) ` m ) e. CC )
9	3	climbdd 14402	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ seq N ( + , M ) e. dom ~~> /\ A. m e. Z ( seq N ( + , M ) ` m ) e. CC ) -> E. y e. RR A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y )
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y )
11	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) -> N e. ZZ )
12		seqfn 12813	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
13	1, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
14	3	fneq2i 5986	. . . . . 6 |- ( seq N ( oF + , F ) Fn Z <-> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn Z )
16		mtest.t	. . . . 5 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) ( ~~> u ` S ) T )
17		ulmf2 24138	. . . . 5 |- ( ( seq N ( oF + , F ) Fn Z /\ seq N ( oF + , F ) ( ~~> u ` S ) T ) -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
19	18	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
20		simplrl 800	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) -> y e. RR )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( F ` j ) ` x ) = ( ( F ` j ) ` z ) )
22	21	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) = ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) )
23	22	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) = seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) = ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ` n ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) = ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) )
26		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ` n ) e. _V
27	24, 25, 26	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( z e. S -> ( ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ` n ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ` n ) )
29		mtest.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
30	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
31	30	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> F = ( j e. Z |-> ( F ` j ) ) )
32	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) )
33		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) : S --> CC )
35	34	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) = ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) )
36	35	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( j e. Z |-> ( F ` j ) ) = ( j e. Z |-> ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) )
37	31, 36	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> F = ( j e. Z |-> ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) )
38	37	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> seq N ( oF + , F ) = seq N ( oF + , ( j e. Z |-> ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` n ) = ( seq N ( oF + , ( j e. Z |-> ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ) ` n ) )
40		mtest.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. V )
41	40	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> S e. V )
42		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> n e. Z )
43	42, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
44		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( N ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
45	44, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( N ... n ) -> k e. Z )
46	45	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ... n ) C_ Z
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( N ... n ) C_ Z )
48	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` j ) ` x ) e. CC )
49	48	anasss 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ ( j e. Z /\ x e. S ) ) -> ( ( F ` j ) ` x ) e. CC )
50	41, 43, 47, 49	seqof2 12859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( seq N ( oF + , ( j e. Z |-> ( x e. S |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ) ` n ) = ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) )
51	39, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` n ) = ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) )
52	51	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) = ( ( x e. S |-> ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` x ) ) ) ` n ) ) ` z ) )
53	45	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> k e. Z )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( F ` j ) = ( F ` k ) )
55	54	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( F ` j ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) = ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) )
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` k ) ` z ) e. _V
58	55, 56, 57	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Z -> ( ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
60		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) -> z e. S )
61	34, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ` z ) e. CC )
62	61, 56	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) : Z --> CC )
63	62	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. Z ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ` k ) e. CC )
64	45, 63	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ` k ) e. CC )
65	59, 64	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
66	59, 43, 65	fsumser 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( seq N ( + , ( j e. Z |-> ( ( F ` j ) ` z ) ) ) ` n ) )
67	28, 52, 66	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) = sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
69		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( N ... n ) e. Fin )
70	69, 65	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
72	65	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
73	69, 72	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
74	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> y e. RR )
75	69, 65	fsumabs 14533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( N ... n ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
76		simp-4l 806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ph )
77	76, 53, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
78	69, 77	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) e. RR )
79		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> z e. S )
80		mtest.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
81	76, 53, 79, 80	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
82	69, 72, 77, 81	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) )
83	78	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) e. CC )
84	83	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) ) e. RR )
85	78	leabsd 14153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) ) )
86		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( M ` k ) = ( M ` k ) )
87	76, 53, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... n ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
88	86, 43, 87	fsumser 14461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) = ( seq N ( + , M ) ` n ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) ) = ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) )
90		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) -> A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( seq N ( + , M ) ` m ) = ( seq N ( + , M ) ` n ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) = ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) )
93	92	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y <-> ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) <_ y ) )
94	93	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y /\ n e. Z ) -> ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) <_ y )
95	90, 94	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) -> ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) <_ y )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` n ) ) <_ y )
97	89, 96	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) ) <_ y )
98	78, 84, 74, 85, 97	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( M ` k ) <_ y )
99	73, 78, 74, 82, 98	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... n ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ y )
100	71, 73, 74, 75, 99	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( N ... n ) ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ y )
101	68, 100	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ y )
102	101	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ y )
103		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ x <-> ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ y ) )
104	103	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ x <-> A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ y ) )
105	104	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( y e. RR /\ A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ y ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ x )
106	20, 102, 105	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) /\ n e. Z ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( ( seq N ( oF + , F ) ` n ) ` z ) ) <_ x )
107	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) -> seq N ( oF + , F ) ( ~~> u ` S ) T )
108	3, 11, 19, 106, 107	ulmbdd 24152	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. m e. Z ( abs ` ( seq N ( + , M ) ` m ) ) <_ y ) ) -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( T ` z ) ) <_ x )
109	10, 108	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. z e. S ( abs ` ( T ` z ) ) <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24760