Theorem unblimceq0 32498

Description: If F is unbounded near A it has no limit at A. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unblimceq0.0	|- ( ph -> S C_ CC )
unblimceq0.1	|- ( ph -> F : S --> CC )
unblimceq0.2	|- ( ph -> A e. CC )
unblimceq0.3	|- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
unblimceq0	|- ( ph -> ( F lim CC A ) = (/) )

Distinct variable groups:   A, b, d, x   F, b, d, x   S, b, d, x   ph, b, d, x

Proof of Theorem unblimceq0

Dummy variables a c y z e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> 1 e. RR+ )
3		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = 1 -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
4	3	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = 1 -> ( ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) ) )
5	4	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = 1 -> ( A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) ) )
6	5	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( e = 1 -> ( E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) ) )
7	6	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( e = 1 -> ( -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ e = 1 ) -> ( -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) ) )
9		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> z =/= A )
10		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( z - A ) ) < c )
11	9, 10	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) )
12		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> 1 e. RR )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> 1 e. RR )
14		unblimceq0.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : S --> CC )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> F : S --> CC )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> F : S --> CC )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> z e. S )
18	16, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
19	18	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) e. RR )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> y e. CC )
21	20	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> ( abs ` y ) e. RR )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
23	19, 22	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) - ( abs ` y ) ) e. RR )
24	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> y e. CC )
25	18, 24	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( F ` z ) - y ) e. CC )
26	25	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) e. RR )
27		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> 1 e. CC )
28	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( abs ` y ) e. CC )
29	27, 28	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( 1 + ( abs ` y ) ) - ( abs ` y ) ) = 1 )
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> 1 = ( ( 1 + ( abs ` y ) ) - ( abs ` y ) ) )
31		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) )
32	12, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> ( 1 + ( abs ` y ) ) e. RR )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( 1 + ( abs ` y ) ) e. RR )
34	33, 19, 22	lesub1d 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) <-> ( ( 1 + ( abs ` y ) ) - ( abs ` y ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) - ( abs ` y ) ) ) )
35	31, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( 1 + ( abs ` y ) ) - ( abs ` y ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) - ( abs ` y ) ) )
36	30, 35	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> 1 <_ ( ( abs ` ( F ` z ) ) - ( abs ` y ) ) )
37	18, 24	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
38	13, 23, 26, 36, 37	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> 1 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) )
39	13, 26	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( 1 <_ ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) <-> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
40	38, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 )
41	11, 40	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) /\ -. ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
42		pm4.61 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) <-> ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) /\ -. ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
43	41, 42	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) /\ ( z e. S /\ ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) ) -> -. ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = c -> ( ( abs ` ( z - A ) ) < d <-> ( abs ` ( z - A ) ) < c ) )
45	44	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = c -> ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) <-> ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) )
46	45	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = c -> ( E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) <-> E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) )
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( 1 + ( abs ` y ) ) -> ( a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) <-> ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) )
48	47	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( 1 + ( abs ` y ) ) -> ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) <-> ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) )
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( 1 + ( abs ` y ) ) -> ( E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) <-> E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) )
50	49	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( 1 + ( abs ` y ) ) -> ( A. d e. RR+ E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) <-> A. d e. RR+ E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) ) )
51		unblimceq0.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> S C_ CC )
52		unblimceq0.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. CC )
53		unblimceq0.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. S ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
54	51, 14, 52, 53	unblimceq0lem 32497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. a e. RR+ A. d e. RR+ E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> A. a e. RR+ A. d e. RR+ E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ a <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) )
56		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 1
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> 0 < 1 )
58	20	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> 0 <_ ( abs ` y ) )
59	12, 21, 57, 58	addgtge0d 32496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> 0 < ( 1 + ( abs ` y ) ) )
60	32, 59	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> ( 1 + ( abs ` y ) ) e. RR+ )
61	50, 55, 60	rspcdva 3316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> A. d e. RR+ E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < d /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> c e. RR+ )
63	46, 61, 62	rspcdva 3316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> E. z e. S ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c /\ ( 1 + ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( F ` z ) ) ) )
64	43, 63	reximddv 3018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> E. z e. S -. ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
65		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. S -. ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) <-> -. A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
66	64, 65	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. CC ) /\ c e. RR+ ) -> -. A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A. c e. RR+ -. A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
68		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. c e. RR+ -. A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) <-> -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < 1 ) )
70	2, 8, 69	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> E. e e. RR+ -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
71		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. e e. RR+ -. E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) <-> -. A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
72	70, 71	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -. A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) )
73	72	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. CC -> -. A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
74		imnan 438	. . . . 5 |- ( ( y e. CC -> -. A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) <-> -. ( y e. CC /\ A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
75	73, 74	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> -. ( y e. CC /\ A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) )
76	14, 51, 52	ellimc3 23643	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( F lim CC A ) <-> ( y e. CC /\ A. e e. RR+ E. c e. RR+ A. z e. S ( ( z =/= A /\ ( abs ` ( z - A ) ) < c ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - y ) ) < e ) ) ) )
77	75, 76	mtbird 315	. . 3 |- ( ph -> -. y e. ( F lim CC A ) )
78	77	alrimiv 1855	. 2 |- ( ph -> A. y -. y e. ( F lim CC A ) )
79		eq0 3929	. 2 |- ( ( F lim CC A ) = (/) <-> A. y -. y e. ( F lim CC A ) )
80	78, 79	sylibr 224	1 |- ( ph -> ( F lim CC A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  unbdqndv1  32499