Theorem zcld 22616

Description: The integers are a closed set in the topology on RR. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zcld.1	|- J = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
zcld	|- ZZ e. ( Clsd ` J )

Proof of Theorem zcld

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) <-> E. x e. ZZ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) )
2		elioore 12205	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) -> y e. RR )
3	2	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) ) -> y e. RR )
4		eliooord 12233	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) -> ( x < y /\ y < ( x + 1 ) ) )
5		btwnnz 11453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ x < y /\ y < ( x + 1 ) ) -> -. y e. ZZ )
6	5	3expb 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x < y /\ y < ( x + 1 ) ) ) -> -. y e. ZZ )
7	4, 6	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) ) -> -. y e. ZZ )
8	3, 7	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) ) -> y e. ( RR \ ZZ ) )
9	8	rexlimiva 3028	. . . . . 6 |- ( E. x e. ZZ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) -> y e. ( RR \ ZZ ) )
10		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> y e. RR )
11	10	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) e. ZZ )
12		flle 12600	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( |_ ` y ) <_ y )
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) <_ y )
14		eldifn 3733	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> -. y e. ZZ )
15		nelne2 2891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` y ) e. ZZ /\ -. y e. ZZ ) -> ( |_ ` y ) =/= y )
16	11, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) =/= y )
17	16	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> y =/= ( |_ ` y ) )
18	11	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) e. RR )
19	18, 10	ltlend 10182	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( ( |_ ` y ) < y <-> ( ( |_ ` y ) <_ y /\ y =/= ( |_ ` y ) ) ) )
20	13, 17, 19	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) < y )
21		flltp1 12601	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> y < ( ( |_ ` y ) + 1 ) )
22	10, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> y < ( ( |_ ` y ) + 1 ) )
23	18	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( |_ ` y ) e. RR* )
24		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` y ) e. RR -> ( ( |_ ` y ) + 1 ) e. RR )
25	18, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( ( |_ ` y ) + 1 ) e. RR )
26	25	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( ( |_ ` y ) + 1 ) e. RR* )
27		elioo2 12216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( |_ ` y ) e. RR* /\ ( ( |_ ` y ) + 1 ) e. RR* ) -> ( y e. ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) <-> ( y e. RR /\ ( |_ ` y ) < y /\ y < ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> ( y e. ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) <-> ( y e. RR /\ ( |_ ` y ) < y /\ y < ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 22, 28	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> y e. ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) )
30		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |_ ` y ) -> x = ( |_ ` y ) )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |_ ` y ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` y ) + 1 ) )
32	30, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( |_ ` y ) -> ( x (,) ( x + 1 ) ) = ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` y ) -> ( y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) <-> y e. ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` y ) e. ZZ /\ y e. ( ( |_ ` y ) (,) ( ( |_ ` y ) + 1 ) ) ) -> E. x e. ZZ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) )
35	11, 29, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( y e. ( RR \ ZZ ) -> E. x e. ZZ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) )
36	9, 35	impbii 199	. . . . 5 |- ( E. x e. ZZ y e. ( x (,) ( x + 1 ) ) <-> y e. ( RR \ ZZ ) )
37	1, 36	bitri 264	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) <-> y e. ( RR \ ZZ ) )
38	37	eqriv 2619	. . 3 |- U_ x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) = ( RR \ ZZ )
39		zcld.1	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
40		retop 22565	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
41	39, 40	eqeltri 2697	. . . 4 |- J e. Top
42		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( x (,) ( x + 1 ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
43	42, 39	eleqtrri 2700	. . . . 5 |- ( x (,) ( x + 1 ) ) e. J
44	43	rgenw 2924	. . . 4 |- A. x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) e. J
45		iunopn 20703	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) e. J ) -> U_ x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) e. J )
46	41, 44, 45	mp2an 708	. . 3 |- U_ x e. ZZ ( x (,) ( x + 1 ) ) e. J
47	38, 46	eqeltrri 2698	. 2 |- ( RR \ ZZ ) e. J
48		zssre 11384	. . 3 |- ZZ C_ RR
49		uniretop 22566	. . . . 5 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
50	39	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
51	49, 50	eqtr4i 2647	. . . 4 |- RR = U. J
52	51	iscld2 20832	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ZZ C_ RR ) -> ( ZZ e. ( Clsd ` J ) <-> ( RR \ ZZ ) e. J ) )
53	41, 48, 52	mp2an 708	. 2 |- ( ZZ e. ( Clsd ` J ) <-> ( RR \ ZZ ) e. J )
54	47, 53	mpbir 221	1 |- ZZ e. ( Clsd ` J )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   topGenctg 16098   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-fl 12593  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  zcld2  22618