Theorem zdis 22619

Description: The integers are a discrete set in the topology on CC. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
zdis	|- ( J ↾t ZZ ) = ~P ZZ

Proof of Theorem zdis

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restsspw 16092	. 2 |- ( J ↾t ZZ ) C_ ~P ZZ
2		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ZZ -> x C_ ZZ )
3	2	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> y e. ZZ )
4	3	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> y e. CC )
5		cnxmet 22576	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
6		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
7		rpxr 11840	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR*
9		recld2.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . 9 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
11	10	blopn 22305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ 1 e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) e. J )
12	5, 8, 11	mp3an13 1415	. . . . . . 7 |- ( y e. CC -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) e. J )
13	9	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- J e. Top
14		zex 11386	. . . . . . . 8 |- ZZ e. _V
15		elrestr 16089	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ZZ e. _V /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) e. J ) -> ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) e. ( J ↾t ZZ ) )
16	13, 14, 15	mp3an12 1414	. . . . . . 7 |- ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) e. J -> ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) e. ( J ↾t ZZ ) )
17	4, 12, 16	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) e. ( J ↾t ZZ ) )
18		blcntr 22218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ 1 e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
19	5, 6, 18	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
21	20, 3	elind 3798	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> y e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) )
22	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> y e. CC )
23		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ ZZ
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) )
25	23, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> z e. ZZ )
26	25	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> z e. CC )
27	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> y e. ZZ )
28	27, 25	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( y - z ) e. ZZ )
29	28	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( y - z ) e. CC )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
31	30	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
32	22, 26, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
33		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 )
34	33, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> z e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
35		elbl2 22195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 1 e. RR* ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) < 1 ) )
36	5, 8, 35	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( z e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) < 1 ) )
37	22, 26, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( z e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) < 1 ) )
38	34, 37	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( y ( abs o. - ) z ) < 1 )
39	32, 38	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( abs ` ( y - z ) ) < 1 )
40		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y - z ) e. ZZ -> ( abs ` ( y - z ) ) e. NN0 )
41		nn0lt10b 11439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` ( y - z ) ) e. NN0 -> ( ( abs ` ( y - z ) ) < 1 <-> ( abs ` ( y - z ) ) = 0 ) )
42	28, 40, 41	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( ( abs ` ( y - z ) ) < 1 <-> ( abs ` ( y - z ) ) = 0 ) )
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( abs ` ( y - z ) ) = 0 )
44	29, 43	abs00d 14185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> ( y - z ) = 0 )
45	22, 26, 44	subeq0d 10400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> y = z )
46		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> y e. x )
47	45, 46	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) /\ z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) -> z e. x )
48	47	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> ( z e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) -> z e. x ) )
49	48	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ x )
50		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) -> ( y e. z <-> y e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) ) )
51		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) -> ( z C_ x <-> ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ x ) )
52	50, 51	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) -> ( ( y e. z /\ z C_ x ) <-> ( y e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ x ) ) )
53	52	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) e. ( J ↾t ZZ ) /\ ( y e. ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) i^i ZZ ) C_ x ) ) -> E. z e. ( J ↾t ZZ ) ( y e. z /\ z C_ x ) )
54	17, 21, 49, 53	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P ZZ /\ y e. x ) -> E. z e. ( J ↾t ZZ ) ( y e. z /\ z C_ x ) )
55	54	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( x e. ~P ZZ -> A. y e. x E. z e. ( J ↾t ZZ ) ( y e. z /\ z C_ x ) )
56		resttop 20964	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ZZ e. _V ) -> ( J ↾t ZZ ) e. Top )
57	13, 14, 56	mp2an 708	. . . . 5 |- ( J ↾t ZZ ) e. Top
58		eltop2 20779	. . . . 5 |- ( ( J ↾t ZZ ) e. Top -> ( x e. ( J ↾t ZZ ) <-> A. y e. x E. z e. ( J ↾t ZZ ) ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
59	57, 58	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x e. ( J ↾t ZZ ) <-> A. y e. x E. z e. ( J ↾t ZZ ) ( y e. z /\ z C_ x ) )
60	55, 59	sylibr 224	. . 3 |- ( x e. ~P ZZ -> x e. ( J ↾t ZZ ) )
61	60	ssriv 3607	. 2 |- ~P ZZ C_ ( J ↾t ZZ )
62	1, 61	eqssi 3619	1 |- ( J ↾t ZZ ) = ~P ZZ

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126

This theorem is referenced by:  sszcld  22620