Theorem dchrn0 24975

Description: A Dirichlet character is nonzero on the units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrn0.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrn0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrn0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dchrn0	⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem dchrn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrn0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		dchrn0.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
3		dchrmhm.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		dchrmhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		dchrn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
6		dchrn0.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
7		dchrmhm.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
8	3, 7	dchrrcl 24965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	3, 4, 5, 6, 9, 7	dchrelbas2 24962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
11	2, 10	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	11	simprd 479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
13		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑋‘𝑥) = (𝑋‘𝐴))
14	13	neeq1d 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
15		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
16	14, 15	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
17	16	rspcv 3305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈)))
18	1, 12, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ∈ 𝑈))
19	18	imp 445	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝑈)
20		ax-1ne0 10005	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 1 ≠ 0)
22	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	4	zncrng 19893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
24		crngring 18558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑍) = (invr‘𝑍)
27		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
29	6, 26, 27, 28	unitrinv 18678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
30	25, 29	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴)) = (1r‘𝑍))
31	30	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
32	11	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
33	32	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
34	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35	6, 26, 5	ringinvcl 18676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
36	25, 35	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵)
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
38	37, 5	mgpbas 18495	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
39	37, 27	mgpplusg 18493	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
41		cnfldmul 19752	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
42	40, 41	mgpplusg 18493	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
43	38, 39, 42	mhmlin 17342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑍)‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
44	33, 34, 36, 43	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝐴(.r‘𝑍)((invr‘𝑍)‘𝐴))) = ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
45	37, 28	ringidval 18503	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
46		cnfld1 19771	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
47	40, 46	ringidval 18503	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
48	45, 47	mhm0 17343	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
49	33, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
50	31, 44, 49	3eqtr3d 2664	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 1)
51		cnfldbas 19750	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
52	40, 51	mgpbas 18495	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
53	38, 52	mhmf 17340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
54	33, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
55	54, 36	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 10234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = 0)
57	21, 50, 56	3netr4d 2871	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
58		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘𝐴) = 0 → ((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) = (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))))
59	58	necon3i 2826	. . 3 ⊢ (((𝑋‘𝐴) · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) ≠ (0 · (𝑋‘((invr‘𝑍)‘𝐴))) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
60	57, 59	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
61	19, 60	impbida 877	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   MndHom cmhm 17333  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrinvcl  24978  dchrfi  24980  dchrghm  24981  dchreq  24983  dchrabs  24985  dchrabs2  24987  dchr1re  24988  dchrpt  24992  dchrsum  24994  sum2dchr  24999  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem1  25197