Theorem dchrabs 24985

Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrabs.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrabs.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dchrabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrabs.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrabs.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrabs.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		dchrabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	dchrf 24967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7		dchrabs.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
8	4, 7	unitss 18660	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9		dchrabs.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
10	8, 9	sseldi 3601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
11	6, 10	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ ℂ)
12	1, 2, 3, 4, 7, 5, 10	dchrn0 24975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ∈ 𝑈))
13	9, 12	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ≠ 0)
14	11, 13	absrpcld 14187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	1, 3	dchrrcl 24965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	2, 4	znfi 19908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
17	5, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
19	17, 8, 18	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
20		hashcl 13147	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
22	21	nn0red 11352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
24		ne0i 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
25	9, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ ∅)
26		hashnncl 13157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
27	19, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
28	25, 27	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
29	28	nnne0d 11065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ≠ 0)
30	23, 29	reccld 10794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ)
31	14, 22, 30	cxpmuld 24480	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
32	23, 29	recidd 10796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈))) = 1)
33	32	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1))
34	11	abscld 14175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℝ)
35	34	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ)
36		cxpexp 24414	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝑋‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(#‘𝑈)))
37	35, 21, 36	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(#‘𝑈)))
38	11, 21	absexpd 14191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑(#‘𝑈)))
39		cnring 19768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ Ring
40		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
41		cnfld0 19770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
42		cndrng 19775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
43	40, 41, 42	drngui 18753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
45	43, 44	unitsubm 18670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
46	39, 45	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘𝐴) ≠ 0))
48	11, 13, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
52	49, 50, 51	submmulg 17586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
53	46, 21, 48, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
55	1, 2, 3, 7, 54, 50, 5	dchrghm 24981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
56	21	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℤ)
57	7, 54	unitgrpbas 18666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
59	57, 58, 51	ghmmulg 17672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ↾ 𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
60	55, 56, 9, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)))
61	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
62	61	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
63	2	zncrng 19893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
64		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
66	7, 54	unitgrp 18667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
69	57, 68	oddvds2 17983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
70	67, 19, 9, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
72	57, 68, 58, 71	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
73	67, 9, 56, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
74	70, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
76	7, 54, 75	unitgrpid 18669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
77	65, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
78	74, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r‘𝑍))
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)))
80		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
81	9, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋 ↾ 𝑈)‘𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
83	60, 79, 82	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋‘𝐴)))
84	7, 75	1unit 18658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ 𝑈)
85		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1r‘𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
86	65, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ 𝑈)‘(1r‘𝑍)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
87	53, 83, 86	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = (𝑋‘(1r‘𝑍)))
88		cnfldexp 19779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈)))
89	11, 21, 88	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘𝐴)) = ((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈)))
90	1, 2, 3	dchrmhm 24966	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
91	90, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
93	92, 75	ringidval 18503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
94		cnfld1 19771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
95	44, 94	ringidval 18503	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
96	93, 95	mhm0 17343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
97	91, 96	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)
98	87, 89, 97	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈)) = 1)
99	98	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈))) = (abs‘1))
100		abs1 14037	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
101	99, 100	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝑋‘𝐴)↑(#‘𝑈))) = 1)
102	37, 38, 101	3eqtr2d 2662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = 1)
103	102	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
104	31, 33, 103	3eqtr3d 2664	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
105	35	cxp1d 24452	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋‘𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋‘𝐴)))
106	30	1cxpd 24453	. 2 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = 1)
107	104, 105, 106	3eqtr3d 2664	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋‘𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  #chash 13117  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  0_gc0g 16100   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657  odcod 17944  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  Unitcui 18639  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ/nℤczn 19851  ↑_𝑐ccxp 24302  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrinv  24986  dchrabs2  24987  sum2dchr  24999  dchrisum0flblem1  25197