Theorem efiatan 24639

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanval 24611	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3		ax-icn 9995	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5		halfcl 11257	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
6	3, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 24604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	3, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		subcl 10280	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 11, 12	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	8	simp2bi 1077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 24317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		addcl 10018	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	8	simp3bi 1078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 24317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	4, 6, 20	mulassd 10063	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
22		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2ne0 11113	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24		divneg 10719	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
25	7, 22, 23, 24	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
26		ixi 10656	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (-1 / 2)
28	3, 3, 22, 23	divassi 10781	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (i · (i / 2))
29	25, 27, 28	3eqtr2i 2650	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 2) = (i · (i / 2))
30	29	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
31		halfcn 11247	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
32		mulneg12 10468	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
33	31, 20, 32	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
34	15, 19	negsubdi2d 10408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
35	34	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
36	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 19, 15	subdid 10486	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
38	33, 35, 37	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
39	30, 38	syl5eqr 2670	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
40	2, 21, 39	3eqtr2d 2662	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
41	40	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
42		mulcl 10020	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
43	31, 19, 42	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
44		mulcl 10020	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
45	31, 15, 44	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
46		efsub 14830	. . 3 ⊢ ((((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
47	43, 45, 46	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
48	17, 18, 36	cxpefd 24458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
49		cxpsqrt 24449	. . . . 5 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
50	17, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
51	48, 50	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
52	13, 14, 36	cxpefd 24458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
53		cxpsqrt 24449	. . . . 5 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
54	13, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
55	52, 54	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
56	51, 55	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))
57	41, 47, 56	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  √csqrt 13973  expce 14792  logclog 24301  ↑_𝑐ccxp 24302  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-atan 24594

This theorem is referenced by: (None)