Theorem smfmullem4 41001

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfmullem4.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfmullem4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})

Assertion

Ref	Expression
smfmullem4	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem4.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmullem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		smfmullem4.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
7	6	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8		smfmullem4.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	7, 8	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
13		smfmullem4.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
19	3, 4, 10, 15, 16, 17, 18	smfmullem3 41000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
21	20	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
22	21	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25		smfmullem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28		smfmullem4.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
29		smfmullem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
30	29, 6	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
32	28, 30, 31	subsalsal 40577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ 𝐾
35	1, 34	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾)
36	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
37	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
38	9	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		smfmullem4.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
40	28, 39, 6	sssmfmpt 40959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
43	4, 42	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
44		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ∈ V
45		qssre 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
46		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
47	44, 45, 46	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
48	43, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐾 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ 𝐾)
50	48, 49	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
51	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ℝ ∈ V)
52		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (0...3) ∈ V)
53	51, 52	elmapd 7871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℤ
56		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 3 ∈ ℤ
57		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 3 ∈ ℝ
59		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 < 3
60	57, 58, 59	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ 3
61	55, 56, 60	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
63	61, 62	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
64		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...3))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ (0...3)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 0 ∈ (0...3))
67	54, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 1
71		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 1 < 3
73	71, 58, 72	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ≤ 3
74	70, 73	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℤ
76		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
77	75, 55, 56, 76	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
78	74, 77	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ (0...3)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 1 ∈ (0...3))
80	54, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
82	81	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
83	35, 36, 37, 38, 41, 69, 82	smfpimioompt 40993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
84	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85		smfmullem4.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
86	1, 12	ssdf 39247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
87	28, 85, 86	sssmfmpt 40959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ 2
90		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
91		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 < 3
92	90, 58, 91	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≤ 3
93	89, 92	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
96	94, 55, 56, 95	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
97	93, 96	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ (0...3)
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 2 ∈ (0...3))
99	54, 98	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101	100	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 3 ∈ (0...3))
103	63, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ (0...3)
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 3 ∈ (0...3))
105	54, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107	106	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
108	35, 36, 37, 84, 88, 101, 107	smfpimioompt 40993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
109	33, 83, 108	salincld 40570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
110	27, 109	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
111	110	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
112	26, 111	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
114	113	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸‘𝑞))
116	24, 115	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
117	116	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
118	117	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
119	118	reximdva 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)))
120	19, 119	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
121		eliun 4524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐾 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
122	120, 121	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
123	122	3exp 1264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))))
124	1, 123	ralrimi 2957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
125	34	nfci 2754	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐾
126		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127	125, 126	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑞 ∈ 𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
128	25, 127	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
129		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑞
130	128, 129	nffv 6198	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐸‘𝑞)
131	125, 130	nfiun 4548	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)
132	131	rabssf 39302	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞)))
133	124, 132	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
134		ssrab2 3687	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶)
135	112, 134	syl6eqss 3655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶))
136		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞))
137	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐸‘𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138	136, 137	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141	140	simprd 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142	140	simpld 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
143	49, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → 𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146	145	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148	147	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149	148	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150	149	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151	142, 146, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153	152	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154	153	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155	141, 151, 154	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156	155	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
157	35, 156	ralrimi 2957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158	135, 157	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∩ 𝐶)
160	130, 159	ssrabf 39298	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸‘𝑞) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸‘𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161	158, 160	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162	161	iunssd 39271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163	133, 162	eqssd 3620	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞))
164		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V
165		ssdomg 8001	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
167	43, 166	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
168		qct 39578	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ≼ ω
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ≼ ω)
170		fzfid 12772	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171	169, 170	mpct 39393	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω)
172	171	trud 1493	. . . . 5 ⊢ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω
173		domtr 8009	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174	167, 172, 173	mp2an 708	. . . 4 ⊢ 𝐾 ≼ ω
175	174	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
176	110, 25	fmptd 6385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐾⟶(𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
177	176	ffvelrnda 6359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
178	32, 175, 177	saliuncl 40542	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑞 ∈ 𝐾 (𝐸‘𝑞) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
179	163, 178	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ⊤wtru 1484  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ↑_𝑚 cmap 7857   ≼ cdom 7953  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℚcq 11788  (,)cioo 12175  ...cfz 12326  abscabs 13974   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfmul  41002