Theorem rge0srg 19817

Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 18242). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rge0srg	⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 19768	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringcmn 18581	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CMnd
4		rege0subm 19802	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
6	5	submcmn 18243	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
7	3, 4, 6	mp2an 708	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8		rge0ssre 12280	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9		ax-resscn 9993	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3612	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11		1re 10039	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0le1 10551	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
13		ltpnf 11954	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
15		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		pnfxr 10092	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
17		elico2 12237	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
18	15, 16, 17	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
19	11, 12, 14, 18	mpbir3an 1244	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
20		ge0mulcl 12285	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
21	20	rgen2a 2977	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 18553	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24		cnfldbas 19750	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	22, 24	mgpbas 18495	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26		cnfld1 19771	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
27	22, 26	ringidval 18503	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28		cnfldmul 19752	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
29	22, 28	mgpplusg 18493	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
30	25, 27, 29	issubm 17347	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
31	1, 23, 30	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
32	10, 19, 21, 31	mpbir3an 1244	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
34	33	submmnd 17354	. . 3 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
35	32, 34	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
37	10, 36	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
39	10, 38	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
41	10, 40	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
42	37, 39, 41	adddid 10064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
43	37, 39, 41	adddird 10065	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
44	42, 43	jca 554	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
45	44	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
46	45	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
47	10	sseli 3599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	mul02d 10234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
49	47	mul01d 10235	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
50	46, 48, 49	jca32 558	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
51	50	rgen 2922	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
52	5, 24	ressbas2 15931	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
53	10, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
54		cnfldex 19749	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
55		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
56	5, 22	mgpress 18500	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
57	54, 55, 56	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
58		cnfldadd 19751	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
59	5, 58	ressplusg 15993	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
60	55, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
61	5, 28	ressmulr 16006	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
62	55, 61	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
63		ringmnd 18556	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64	1, 63	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
65		0e0icopnf 12282	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
66		cnfld0 19770	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
67	5, 24, 66	ress0g 17319	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
68	64, 65, 10, 67	mp3an 1424	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
69	53, 57, 60, 62, 68	issrg 18507	. 2 ⊢ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
70	7, 35, 51, 69	mpbir3an 1244	1 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,)cico 12177  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505  Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  29844  sge0tsms  40597