Theorem 2sqlem10 25153

Description: Lemma for 2sq 25155. Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem10	|- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, A, y, z   x, B, y   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   A( w)   B( z, w)   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10

Dummy variables a b n m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1end 12371	. . . . 5 |- ( B e. NN <-> B e. ( 1 ... B ) )
2	1	biimpi 206	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. ( 1 ... B ) )
3		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... 1 ) )
4	3	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
6	5	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... ( n + 1 ) ) )
8	7	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = B -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... B ) )
10	9	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( m = B -> ( A. b e. ( 1 ... m ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
11		elfz1eq 12352	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b = 1 )
12		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
13		zgz 15637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ZZ[_i] )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ[_i]
15		sq1 12958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
16	15	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1 ^ 2 )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = ( abs ` 1 ) )
18		abs1 14037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs ` 1 ) = 1
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( abs ` x ) = 1 )
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( ( abs ` x ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) <-> 1 = ( 1 ^ 2 ) ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ[_i] /\ 1 = ( 1 ^ 2 ) ) -> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
23	14, 16, 22	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 )
24		2sq.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
25	24	2sqlem1 25142	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. S <-> E. x e. ZZ[_i] 1 = ( ( abs ` x ) ^ 2 ) )
26	23, 25	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- 1 e. S
27	11, 26	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> b e. S )
28	27	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> ( b || a -> b e. S ) )
29	28	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( b e. ( 1 ... 1 ) -> A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
30	29	rgen 2922	. . . . 5 |- A. b e. ( 1 ... 1 ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S )
31		2sqlem7.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
32		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
33		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> n e. CC )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> n e. CC )
35		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
36		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
37	34, 35, 36	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... n ) )
39	38	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
40	32, 39	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> A. b e. ( 1 ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) || m )
42		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
44		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> m e. Y )
45	24, 31, 40, 41, 43, 44	2sqlem9 25152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ ( m e. Y /\ ( n + 1 ) || m ) ) -> ( n + 1 ) e. S )
46	45	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) /\ m e. Y ) -> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
49		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = m -> ( ( n + 1 ) || a <-> ( n + 1 ) || m ) )
50	49	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( a = m -> ( ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
51	50	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) <-> A. m e. Y ( ( n + 1 ) || m -> ( n + 1 ) e. S ) )
52	48, 51	syl6ibr 242	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
53		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( n + 1 ) e. _V
54		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b || a <-> ( n + 1 ) || a ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( b e. S <-> ( n + 1 ) e. S ) )
56	54, 55	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
57	56	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( n + 1 ) -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) ) )
58	53, 57	ralsn 4222	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( ( n + 1 ) || a -> ( n + 1 ) e. S ) )
59	52, 58	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
60	59	ancld 576	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
61		elnnuz 11724	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
62		fzsuc 12388	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
63	61, 62	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 1 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
64	63	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
65		ralunb 3794	. . . . . . 7 |- ( A. b e. ( ( 1 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
66	64, 65	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) /\ A. b e. { ( n + 1 ) } A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) ) )
67	60, 66	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( A. b e. ( 1 ... n ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. b e. ( 1 ... ( n + 1 ) ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) ) )
68	4, 6, 8, 10, 30, 67	nnind 11038	. . . 4 |- ( B e. NN -> A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) )
69		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b || a <-> B || a ) )
70		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b e. S <-> B e. S ) )
71	69, 70	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( b || a -> b e. S ) <-> ( B || a -> B e. S ) ) )
72	71	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( b = B -> ( A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) <-> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
73	72	rspcv 3305	. . . 4 |- ( B e. ( 1 ... B ) -> ( A. b e. ( 1 ... B ) A. a e. Y ( b || a -> b e. S ) -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) ) )
74	2, 68, 73	sylc 65	. . 3 |- ( B e. NN -> A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) )
75		breq2 4657	. . . . 5 |- ( a = A -> ( B || a <-> B || A ) )
76	75	imbi1d 331	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( B || a -> B e. S ) <-> ( B || A -> B e. S ) ) )
77	76	rspcv 3305	. . 3 |- ( A e. Y -> ( A. a e. Y ( B || a -> B e. S ) -> ( B || A -> B e. S ) ) )
78	74, 77	syl5 34	. 2 |- ( A e. Y -> ( B e. NN -> ( B || A -> B e. S ) ) )
79	78	3imp 1256	1 |- ( ( A e. Y /\ B e. NN /\ B || A ) -> B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   abscabs 13974   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   ZZ[_i]cgz 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-gz 15634

This theorem is referenced by:  2sqlem11  25154