Theorem dvatan 24662

Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s	|- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }

Assertion

Ref	Expression
dvatan	|- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, S

Allowed substitution hint:   S( y)

Proof of Theorem dvatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 10029	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
3		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		ax-icn 9995	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
5		atansopn.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
6		atansopn.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { y e. CC | ( 1 + ( y ^ 2 ) ) e. D }
7	5, 6	atansssdm 24660	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ dom arctan
8		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. S )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. dom arctan )
10		atandm2 24604	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 ) )
12	11	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x e. CC )
13		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
14	4, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i x. x ) e. CC )
15		subcl 10280	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
16	3, 14, 15	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
17	11	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) =/= 0 )
18	16, 17	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
19		addcl 10018	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. x ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
20	3, 14, 19	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
21	11	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) =/= 0 )
22	20, 21	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) e. CC )
23	18, 22	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) e. CC )
24		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) e. _V )
25		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x + _i ) ) e. _V )
26	5, 6	atans2 24658	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S <-> ( x e. CC /\ ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D /\ ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D ) )
27	26	simp2bi 1077	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. D )
29		negex 10279	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. _V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. _V )
31	5	logdmss 24388	. . . . . . . . . 10 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
32		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. D )
33	31, 32	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> y e. ( CC \ { 0 } ) )
34		logf1o 24311	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
35		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
37	36	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( CC \ { 0 } ) -> ( log ` y ) e. ran log )
38		logrncn 24309	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` y ) e. ran log -> ( log ` y ) e. CC )
39	33, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( log ` y ) e. CC )
40		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. D ) -> ( 1 / y ) e. _V )
41	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> _i e. CC )
42	41, 13	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
43	3, 42, 15	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. x ) ) e. CC )
44	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> -u _i e. _V )
45		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
46		0cnd 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
47		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. CC )
48	2, 47	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> 1 ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
49	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
51	2	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
52	2, 50, 45, 51, 41	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
53	4	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 1 ) = _i
54	53	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
55	52, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
56	2, 45, 46, 48, 42, 49, 55	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) ) )
57		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u _i = ( 0 - _i )
58	57	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u _i ) = ( x e. CC |-> ( 0 - _i ) )
59	56, 58	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> -u _i ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
61	60	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
62	5, 6	atansopn 24659	. . . . . . . . . . 11 |- S e. ( TopOpen ` ℂfld )
63		toponss 20731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ S e. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> S C_ CC )
64	61, 62, 63	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- S C_ CC
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S C_ CC )
66	60	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
67	61	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . 12 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
68	67	restid 16094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
69	66, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
70	69	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
71	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> S e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
72	2, 43, 44, 59, 65, 70, 60, 71	dvmptres 23726	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> -u _i ) )
73		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D --> ran log )
74	36, 31, 73	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log |` D ) : D --> ran log
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( log |` D ) : D --> ran log )
76	75	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( log |` D ) = ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) )
77		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. D -> ( ( log |` D ) ` y ) = ( log ` y ) )
78	77	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. D |-> ( ( log |` D ) ` y ) ) = ( y e. D |-> ( log ` y ) )
79	76, 78	syl6req 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( y e. D |-> ( log ` y ) ) = ( log |` D ) )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( CC _D ( log |` D ) ) )
81	5	dvlog 24397	. . . . . . . . 9 |- ( CC _D ( log |` D ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) )
82	80, 81	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. D |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. D |-> ( 1 / y ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
84		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 - ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) )
85	2, 2, 28, 30, 39, 40, 72, 82, 83, 84	dvmptco 23735	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) )
86		irec 12964	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / _i ) = -u _i
87	86	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i )
88	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i e. CC )
89		ine0 10465	. . . . . . . . . . . 12 |- _i =/= 0
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> _i =/= 0 )
91	16, 88, 17, 90	recdiv2d 10819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
92	16, 17	reccld 10794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) e. CC )
93	92, 88, 90	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) / _i ) = ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) )
94		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> 1 e. CC )
95	94, 14, 88	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) )
96	4	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. _i ) = _i
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 x. _i ) = _i )
98	88, 12, 88	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = ( ( _i x. _i ) x. x ) )
99		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( _i x. _i ) = -u 1
100	99	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. _i ) x. x ) = ( -u 1 x. x )
101	12	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
102	100, 101	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. _i ) x. x ) = -u x )
103	98, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) x. _i ) = -u x )
104	97, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) - ( ( _i x. x ) x. _i ) ) = ( _i - -u x ) )
105		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
106	4, 12, 105	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i - -u x ) = ( _i + x ) )
107	95, 104, 106	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( _i + x ) )
108		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
109	4, 12, 108	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i + x ) = ( x + _i ) )
110	107, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( x + _i ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 - ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
112	91, 93, 111	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. ( 1 / _i ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
113	87, 112	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
114	113	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 - ( _i x. x ) ) ) x. -u _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
115	85, 114	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x + _i ) ) ) )
116		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( x - _i ) ) e. _V )
117	26	simp3bi 1078	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
118	117	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. D )
119	3, 42, 19	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. x ) ) e. CC )
120	2, 45, 46, 48, 42, 49, 55	dvmptadd 23723	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) )
121	4	addid2i 10224	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + _i ) = _i
122	121	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( 0 + _i ) ) = ( x e. CC |-> _i )
123	120, 122	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
124	2, 119, 49, 123, 65, 70, 60, 71	dvmptres 23726	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. S |-> _i ) )
125		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
126		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1 + ( _i x. x ) ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
127	2, 2, 118, 88, 39, 40, 124, 82, 125, 126	dvmptco 23735	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) )
128	94, 20, 88, 21, 90	divdiv2d 10833	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) )
129	94, 14, 88, 90	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) )
130	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / _i ) = -u _i )
131	12, 88, 90	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( _i x. x ) / _i ) = x )
132	130, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / _i ) + ( ( _i x. x ) / _i ) ) = ( -u _i + x ) )
133		negicn 10282	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u _i e. CC
134		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
135	133, 12, 134	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x + -u _i ) )
136		negsub 10329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
137	12, 4, 136	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + -u _i ) = ( x - _i ) )
138	135, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( -u _i + x ) = ( x - _i ) )
139	129, 132, 138	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) = ( x - _i ) )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( ( 1 + ( _i x. x ) ) / _i ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
141	94, 88, 20, 21	div23d 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 x. _i ) / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) )
142	128, 140, 141	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
143	142	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( 1 + ( _i x. x ) ) ) x. _i ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
144	127, 143	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
145	2, 18, 25, 115, 22, 116, 144	dvmptsub 23730	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) )
146		subcl 10280	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - _i ) e. CC )
147	12, 4, 146	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) e. CC )
148		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x + _i ) e. CC )
149	12, 4, 148	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) e. CC )
150	12	sqcld 13006	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
151		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ ( x ^ 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
152	3, 150, 151	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) e. CC )
153		atandm4 24606	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 ) )
154	153	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom arctan -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
155	9, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 + ( x ^ 2 ) ) =/= 0 )
156	147, 149, 152, 155	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
157	137	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) )
158	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> -u _i e. CC )
159	12, 158, 88	pnpcand 10429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + -u _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
160	157, 159	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( -u _i - _i ) )
161		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
162	161, 4, 89	divreci 10770	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. ( 1 / _i ) )
163	86	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 1 / _i ) ) = ( 2 x. -u _i )
164	162, 163	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 / _i ) = ( 2 x. -u _i )
165	133	2timesi 11147	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. -u _i ) = ( -u _i + -u _i )
166	133, 4	negsubi 10359	. . . . . . . . . 10 |- ( -u _i + -u _i ) = ( -u _i - _i )
167	164, 165, 166	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 |- ( 2 / _i ) = ( -u _i - _i )
168	160, 167	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) = ( 2 / _i ) )
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) - ( x + _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
170	147	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. 1 ) = ( x - _i ) )
171	147, 149	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
172		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
173	172	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) - -u 1 )
174		subneg 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
175	150, 3, 174	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
176	173, 175	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + 1 ) )
177		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
178	12, 4, 177	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) - ( _i ^ 2 ) ) = ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) )
179		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
180	150, 3, 179	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x ^ 2 ) + 1 ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
181	176, 178, 180	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
182	171, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) = ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
183	170, 182	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
184		subneg 10330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
185	12, 4, 184	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) = ( x + _i ) )
186		atandm 24603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom arctan <-> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
187	9, 186	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x e. CC /\ x =/= -u _i /\ x =/= _i ) )
188	187	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= -u _i )
189		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) = 0 <-> x = -u _i ) )
190	189	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ -u _i e. CC ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
191	12, 133, 190	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - -u _i ) =/= 0 <-> x =/= -u _i ) )
192	188, 191	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - -u _i ) =/= 0 )
193	185, 192	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x + _i ) =/= 0 )
194	187	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> x =/= _i )
195		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) = 0 <-> x = _i ) )
196	195	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
197	12, 4, 196	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) =/= 0 <-> x =/= _i ) )
198	194, 197	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( x - _i ) =/= 0 )
199	94, 149, 147, 193, 198	divcan5d 10827	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) x. 1 ) / ( ( x - _i ) x. ( x + _i ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
200	183, 199	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x + _i ) ) )
201	149	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) x. 1 ) = ( x + _i ) )
202	201, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
203	94, 147, 149, 198, 193	divcan5d 10827	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x + _i ) x. 1 ) / ( ( x + _i ) x. ( x - _i ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
204	202, 203	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( x - _i ) ) )
205	200, 204	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( x - _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) - ( ( x + _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) )
206	156, 169, 205	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) = ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )
207	206	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( ( 1 / ( x + _i ) ) - ( 1 / ( x - _i ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
208	145, 207	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
209		halfcl 11257	. . . . 5 |- ( _i e. CC -> ( _i / 2 ) e. CC )
210	4, 209	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> ( _i / 2 ) e. CC )
211	2, 23, 24, 208, 210	dvmptcmul 23727	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
212		df-atan 24594	. . . . . . 7 |- arctan = ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
213	212	reseq1i 5392	. . . . . 6 |- (arctan |` S ) = ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S )
214		atanf 24607	. . . . . . . . 9 |- arctan : ( CC \ { -u _i , _i } ) --> CC
215	214	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom arctan = ( CC \ { -u _i , _i } )
216	7, 215	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- S C_ ( CC \ { -u _i , _i } )
217		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( S C_ ( CC \ { -u _i , _i } ) -> ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
218	216, 217	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( CC \ { -u _i , _i } ) |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
219	213, 218	eqtri 2644	. . . . 5 |- (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) )
220	219	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (arctan |` S ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6666	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( CC _D ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( log ` ( 1 - ( _i x. x ) ) ) - ( log ` ( 1 + ( _i x. x ) ) ) ) ) ) ) )
222		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
223		divcan6 10732	. . . . . . 7 |- ( ( ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1 )
224	4, 89, 161, 222, 223	mp4an 709	. . . . . 6 |- ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) = 1
225	224	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) )
226	4, 209	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( _i / 2 ) e. CC )
227	161, 4, 89	divcli 10767	. . . . . . 7 |- ( 2 / _i ) e. CC
228	227	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 2 / _i ) e. CC )
229	226, 228, 152, 155	divassd 10836	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( ( ( _i / 2 ) x. ( 2 / _i ) ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
230	225, 229	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. S ) -> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) = ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
231	230	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( T. -> ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) = ( x e. S |-> ( ( _i / 2 ) x. ( ( 2 / _i ) / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
232	211, 221, 231	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( T. -> ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) ) )
233	232	trud 1493	1 |- ( CC _D (arctan |` S ) ) = ( x e. S |-> ( 1 / ( 1 + ( x ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   _D cdv 23627   logclog 24301  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  atancn  24663