Theorem axsegconlem10 25806

Description: Lemma for axsegcon 25807. Show that the scaling constant from axsegconlem7 25803 produces the betweenness condition for A, B and F. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axsegconlem2.1	|- S = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 )
axsegconlem7.2	|- T = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 )
axsegconlem8.3	|- F = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axsegconlem10	|- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( F ` i ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   C, p   D, p   N, p   A, i, k   B, i, k   C, i, k   D, i, k   i, N, k   S, i, k   T, i, k   i, p

Allowed substitution hints:   S( p)   T( p)   F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem7.2	. . . . . . . 8 |- T = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 )
2	1	axsegconlem4 25800	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( sqr ` T ) e. RR )
3	2	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` T ) e. RR )
4		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
5		fveere 25781	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. RR )
6	4, 5	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. RR )
7	3, 6	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) e. RR )
8	7	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) e. CC )
9		axsegconlem2.1	. . . . . . . . 9 |- S = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 )
10	9	axsegconlem4 25800	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
11	10	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
13		axsegconlem8.3	. . . . . . . 8 |- F = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
14	9, 1, 13	axsegconlem8 25804	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
15		fveere 25781	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
16	14, 15	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
17	12, 16	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
19		readdcl 10019	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` S ) e. RR /\ ( sqr ` T ) e. RR ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
20	11, 2, 19	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. CC )
23		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 e. RR )
24	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
25	9	axsegconlem6 25802	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> 0 < ( sqr ` S ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 < ( sqr ` S ) )
27	1	axsegconlem5 25801	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> 0 <_ ( sqr ` T ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ ( sqr ` T ) )
29		addge01 10538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` S ) e. RR /\ ( sqr ` T ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( sqr ` T ) <-> ( sqr ` S ) <_ ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) )
30	11, 2, 29	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 0 <_ ( sqr ` T ) <-> ( sqr ` S ) <_ ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) )
31	28, 30	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` S ) <_ ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) )
32	23, 24, 20, 26, 31	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 < ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) )
33	32	gt0ne0d 10592	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) =/= 0 )
34	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) =/= 0 )
35	8, 18, 22, 34	divdird 10839	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) + ( ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( B ` k ) = ( B ` i ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) = ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( A ` k ) = ( A ` i ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) = ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) )
40	37, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
42		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) e. _V
43	41, 13, 42	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( F ` i ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) = ( ( sqr ` S ) x. ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) )
46		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
47		fveere 25781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
48	46, 47	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
49	21, 48	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) e. RR )
50	49, 7	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) e. CC )
52	12	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) e. CC )
53	25	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( sqr ` S ) =/= 0 )
54	53	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) =/= 0 )
55	51, 52, 54	divcan2d 10803	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
56	45, 55	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
57	56	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) )
58	49	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) e. CC )
59	8, 58	pncan3d 10395	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) )
61	7, 17	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) e. CC )
63	48	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
64	62, 63, 22, 34	divmul2d 10834	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( B ` i ) <-> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) )
65	60, 64	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) + ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( B ` i ) )
66	2	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( sqr ` T ) e. CC )
67	66	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` T ) e. CC )
68	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
69	67, 68, 22, 34	div23d 10838	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( ( sqr ` T ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( A ` i ) ) )
70	22, 52, 22, 34	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) )
71	11	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( sqr ` S ) e. CC )
72		pncan2 10288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sqr ` S ) e. CC /\ ( sqr ` T ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = ( sqr ` T ) )
73	71, 66, 72	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = ( sqr ` T ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = ( sqr ` T ) )
75	74	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( sqr ` T ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) )
76	22, 34	dividd 10799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = 1 )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) = ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) )
78	70, 75, 77	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) )
80	69, 79	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) )
81	16	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) e. CC )
82	52, 81, 22, 34	div23d 10838	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = ( ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( F ` i ) ) )
83	80, 82	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) + ( ( ( sqr ` S ) x. ( F ` i ) ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) = ( ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
84	35, 65, 83	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) = ( ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
85	84	ralrimiva 2966	1 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) ) x. ( A ` i ) ) + ( ( ( sqr ` S ) / ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( F ` i ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   EEcee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  axsegcon  25807