Theorem axsegconlem9 25805

Description: Lemma for axsegcon 25807. Show that B F is congruent to C D. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axsegconlem2.1	|- S = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 )
axsegconlem7.2	|- T = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 )
axsegconlem8.3	|- F = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axsegconlem9	|- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   C, p   D, p   N, p   A, i, k   B, i, k   C, i, k   D, i, k   i, N, k   S, i, k   T, i, k   i, p

Allowed substitution hints:   S( p)   T( p)   F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( B ` k ) = ( B ` i ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) = ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( A ` k ) = ( A ` i ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) = ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) )
5	2, 4	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
7		axsegconlem8.3	. . . . . . . . 9 |- F = ( k e. ( 1 ... N ) |-> ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` k ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` k ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
8		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) e. _V
9	6, 7, 8	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 1 ... N ) -> ( F ` i ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` i ) = ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) = ( ( B ` i ) - ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) )
12		axsegconlem2.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 )
13	12	axsegconlem4 25800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
14	13	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) e. RR )
16		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
17		fveere 25781	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
18	16, 17	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
19	15, 18	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) e. CC )
21		axsegconlem7.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 )
22	21	axsegconlem4 25800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> ( sqr ` T ) e. RR )
23		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( sqr ` S ) e. RR /\ ( sqr ` T ) e. RR ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
24	14, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. RR )
26	25, 18	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) e. RR )
27	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` T ) e. RR )
28		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
29		fveere 25781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. RR )
30	28, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. RR )
31	27, 30	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) e. RR )
32	26, 31	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) e. CC )
34	15	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) e. CC )
35	12	axsegconlem6 25802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> 0 < ( sqr ` S ) )
36	35	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( sqr ` S ) =/= 0 )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` S ) =/= 0 )
38	20, 33, 34, 37	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) / ( sqr ` S ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) / ( sqr ` S ) ) - ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) )
39	26	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) e. CC )
40	31	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) e. CC )
41	20, 39, 40	subsubd 10420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) + ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
42	27	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( sqr ` T ) e. CC )
43	18	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( B ` i ) e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( B ` i ) e. CC )
45	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
46	42, 44, 45	adddid 10064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( -u ( B ` i ) + ( A ` i ) ) ) = ( ( ( sqr ` T ) x. -u ( B ` i ) ) + ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
47	44, 45	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( -u ( B ` i ) + ( A ` i ) ) = ( ( A ` i ) + -u ( B ` i ) ) )
48	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` i ) e. CC )
49	45, 48	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` i ) + -u ( B ` i ) ) = ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) )
50	47, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( -u ( B ` i ) + ( A ` i ) ) = ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( -u ( B ` i ) + ( A ` i ) ) ) = ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) )
52	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) e. CC )
53	52, 34	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = ( ( sqr ` S ) - ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) )
54	34, 42	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = ( sqr ` T ) )
55	54	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) - ( sqr ` S ) ) = -u ( sqr ` T ) )
56	53, 55	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) - ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) = -u ( sqr ` T ) )
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) - ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( B ` i ) ) = ( -u ( sqr ` T ) x. ( B ` i ) ) )
58	34, 52, 48	subdird 10487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) - ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) ) x. ( B ` i ) ) = ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) )
59		mulneg12 10468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( sqr ` T ) e. CC /\ ( B ` i ) e. CC ) -> ( -u ( sqr ` T ) x. ( B ` i ) ) = ( ( sqr ` T ) x. -u ( B ` i ) ) )
60	42, 48, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( -u ( sqr ` T ) x. ( B ` i ) ) = ( ( sqr ` T ) x. -u ( B ` i ) ) )
61	57, 58, 60	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. -u ( B ` i ) ) = ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. -u ( B ` i ) ) + ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) + ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) )
63	46, 51, 62	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) ) + ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) = ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) )
64	41, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) = ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) - ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) ) / ( sqr ` S ) ) = ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
66	48, 34, 37	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) / ( sqr ` S ) ) = ( B ` i ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` S ) x. ( B ` i ) ) / ( sqr ` S ) ) - ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) = ( ( B ` i ) - ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) )
68	38, 65, 67	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) - ( ( ( ( ( sqr ` S ) + ( sqr ` T ) ) x. ( B ` i ) ) - ( ( sqr ` T ) x. ( A ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ) = ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
69	11, 68	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) = ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ^ 2 ) )
71	30, 18	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) e. RR )
72	27, 71	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) e. RR )
73	72	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) e. CC )
74	73, 34, 37	sqdivd 13021	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) / ( sqr ` S ) ) ^ 2 ) = ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ^ 2 ) / ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) ) )
75	71	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) e. CC )
76	42, 75	sqmuld 13020	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) )
77	21	axsegconlem2 25798	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> T e. RR )
78	77	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> T e. RR )
79	21	axsegconlem3 25799	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> 0 <_ T )
80	79	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ T )
81		resqrtth 13996	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. RR /\ 0 <_ T ) -> ( ( sqr ` T ) ^ 2 ) = T )
82	78, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` T ) ^ 2 ) = T )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) ^ 2 ) x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) )
84	76, 83	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ^ 2 ) = ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) )
85	12	axsegconlem2 25798	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> S e. RR )
86	12	axsegconlem3 25799	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> 0 <_ S )
87		resqrtth 13996	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) -> ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) = S )
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) = S )
89	88	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) = S )
90	89	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) = S )
91	84, 90	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( sqr ` T ) x. ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ) ^ 2 ) / ( ( sqr ` S ) ^ 2 ) ) = ( ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) )
92	70, 74, 91	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) )
93	92	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) )
94		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
95	77	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. RR )
96	95	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> T e. CC )
97	71	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
98	97	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) e. CC )
99	94, 96, 98	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) )
100	99	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) = ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( p = i -> ( C ` p ) = ( C ` i ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( p = i -> ( D ` p ) = ( D ` i ) )
103	101, 102	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( p = i -> ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) = ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( p = i -> ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 ) = ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )
105	104	cbvsumv 14426	. . . . . 6 |- sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` p ) - ( D ` p ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 )
106	21, 105	eqtri 2644	. . . . 5 |- T = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 )
107		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = p -> ( A ` i ) = ( A ` p ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = p -> ( B ` i ) = ( B ` p ) )
109	107, 108	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( i = p -> ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) = ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( i = p -> ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 ) )
111	110	cbvsumv 14426	. . . . . 6 |- sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ p e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` p ) - ( B ` p ) ) ^ 2 )
112	111, 12	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) = S
113	106, 112	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) x. S )
114		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 )
115	114	axsegconlem2 25798	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
116	115	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
117	116	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
118	95, 117	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
119	118	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
120		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 )
121	120	axsegconlem2 25798	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
122	121	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
123	122	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) e. CC )
124	85	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> S e. RR )
125	124	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> S e. RR )
126	125	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> S e. CC )
127	86	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> 0 <_ S )
128		sqrt00 14004	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) -> ( ( sqr ` S ) = 0 <-> S = 0 ) )
129	128	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) -> ( ( sqr ` S ) =/= 0 <-> S =/= 0 ) )
130	124, 127, 129	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> ( ( sqr ` S ) =/= 0 <-> S =/= 0 ) )
131	36, 130	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) -> S =/= 0 )
132	131	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> S =/= 0 )
133	119, 123, 126, 132	divmul3d 10835	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) <-> ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) x. S ) ) )
134	113, 133	mpbiri 248	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( T x. sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )
135	78, 97	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
136	135	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) /\ i e. ( 1 ... N ) ) -> ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
137	94, 126, 136, 132	fsumdivc 14518	. . 3 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... N ) ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) )
138	100, 134, 137	3eqtr3rd 2665	. 2 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( T x. ( ( ( A ` i ) - ( B ` i ) ) ^ 2 ) ) / S ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )
139	93, 138	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ A =/= B ) /\ ( C e. ( EE ` N ) /\ D e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. ( 1 ... N ) ( ( ( C ` i ) - ( D ` i ) ) ^ 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   EEcee 25768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771

This theorem is referenced by:  axsegcon  25807