Theorem dividd 10799

Description: A number divided by itself is one. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
reccld.2	|- ( ph -> A =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
dividd	|- ( ph -> ( A / A ) = 1 )

Proof of Theorem dividd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		reccld.2	. 2 |- ( ph -> A =/= 0 )
3		divid 10714	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( A / A ) = 1 )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A / A ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  nndivtr  11062  divge1  11898  xov1plusxeqvd  12318  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  intfracq  12658  fldiv  12659  modid0  12696  bcn0  13097  abs1m  14075  georeclim  14603  efaddlem  14823  sqgcd  15278  prmind2  15398  divgcdodd  15422  divnumden  15456  hashgcdlem  15493  pythagtriplem19  15538  pc2dvds  15583  fldivp1  15601  abv1z  18832  dveflem  23742  dvlip  23756  elqaalem2  24075  aareccl  24081  efeq1  24275  eff1olem  24294  eflogeq  24348  tanarg  24365  logcnlem4  24391  cxpaddle  24493  logbid1  24506  isosctrlem3  24550  angpieqvdlem  24555  dcubic2  24571  2efiatan  24645  atantan  24650  birthdaylem2  24679  efrlim  24696  jensenlem2  24714  logdifbnd  24720  logdiflbnd  24721  emcllem2  24723  emcllem3  24724  emcllem5  24726  dmgmdivn0  24754  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem5  24759  lgamcvg2  24781  lgam1  24790  basellem8  24814  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  selberg4lem1  25249  pntrmax  25253  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem5  25270  pntibndlem2  25280  pntlem3  25298  brbtwn2  25785  axsegconlem10  25806  axpaschlem  25820  axcontlem8  25851  cndprobtot  30498  cvmliftlem11  31277  divcnvlin  31618  iprodgam  31628  faclim2  31634  poimirlem32  33441  dvtan  33460  areacirc  33505  irrapxlem5  37390  pellexlem6  37398  pell14qrexpclnn0  37430  reglogbas  37459  imo72b2  38475  binomcxplemrat  38549  divcan8d  39527  mccllem  39829  clim1fr1  39833  coseq0  40075  dvnxpaek  40157  stoweidlem1  40218  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  wallispilem5  40286  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem1  40320  fourierdlem4  40328  fourierdlem6  40330  fourierdlem26  40350  fourierdlem65  40388  etransclem35  40486  sharhght  41054  cotsqcscsq  42503