bezoutlem3 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bezoutlem3		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem bezoutlem3 15258

Description: Lemma for bezout 15260. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) ( Revised by AV, 30-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bezout.1
bezout.3
bezout.4
bezout.2	inf
bezout.5	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
bezoutlem3

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem bezoutlem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
2		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . 12
4		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
6	5	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
10	6, 9	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . . . 12
11	3, 10	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11
12		bezout.1	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 $/\$
14	1, 13	sylib 208	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
15	14	simpld 475	. . . . . . . 8 $/\$
16	15	nnred 11035	. . . . . . 7 $/\$
17		bezout.3	. . . . . . . . . . . 12
18		bezout.4	. . . . . . . . . . . 12
19		bezout.2	. . . . . . . . . . . 12 inf
20		bezout.5	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	12, 17, 18, 19, 20	bezoutlem2 15257	. . . . . . . . . . 11
22		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	23	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14
25		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14
28	24, 27	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . . . . 13
29		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14
30	29	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . 13
31	28, 30	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12
32	31, 12	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	21, 32	sylib 208	. . . . . . . . . 10 $/\$
34	33	simpld 475	. . . . . . . . 9
35	34	nnrpd 11870	. . . . . . . 8
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
37		modlt 12679	. . . . . . 7 $/\$
38	16, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$
39	15	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 $/\$
40	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
41	39, 40	zmodcld 12691	. . . . . . . 8 $/\$
42	41	nn0red 11352	. . . . . . 7 $/\$
43	34	nnred 11035	. . . . . . . 8
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
45	42, 44	ltnled 10184	. . . . . 6 $/\$
46	38, 45	mpbid 222	. . . . 5 $/\$
47	14	simprd 479	. . . . . . . . 9 $/\$
48	33	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
50		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	16, 40	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
53	52	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	51, 54	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50, 55	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58, 54	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	57, 59	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	17	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	50	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	62, 63	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	18	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	57	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	66, 67	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	55	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	62, 69	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	59	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	66, 71	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	64, 68, 70, 72	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	51	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	62, 74	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	58	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	66, 76	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	53	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	75, 77, 79	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	62, 74, 79	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	66, 76, 79	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	81, 82	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	62, 63, 69	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	66, 67, 71	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	73, 85, 88	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92	91	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	94	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	92, 95	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
97	56, 60, 89, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
100	98, 99	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
101	100	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
102	101	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103	97, 102	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	105	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
107	49, 106	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
108	107	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
109	108	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . 9 $/\$
110	47, 109	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$
111		modval 12670	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	16, 36, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$
114	113	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 $/\$
115	114	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 $/\$
116	110, 115	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$
117		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10
118	117	2rexbidv 3057	. . . . . . . . 9
119	118, 12	elrab2 3366	. . . . . . . 8 $/\$
120	119	simplbi2com 657	. . . . . . 7
121	116, 120	syl 17	. . . . . 6 $/\$
122		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10
123	12, 122	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9
124		nnuz 11723	. . . . . . . . 9
125	123, 124	sseqtri 3637	. . . . . . . 8
126		infssuzle 11771	. . . . . . . 8 $/\$ inf
127	125, 126	mpan 706	. . . . . . 7 inf
128	19, 127	syl5eqbr 4688	. . . . . 6
129	121, 128	syl6 35	. . . . 5 $/\$
130	46, 129	mtod 189	. . . 4 $/\$
131		elnn0 11294	. . . . . 6 $\/$
132	41, 131	sylib 208	. . . . 5 $/\$ $\/$
133	132	ord 392	. . . 4 $/\$
134	130, 133	mpd 15	. . 3 $/\$
135		dvdsval3 14987	. . . 4 $/\$
136	40, 39, 135	syl2anc 693	. . 3 $/\$
137	134, 136	mpbird 247	. 2 $/\$
138	137	ex 450	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wrex 2913

crab 2916

wss 3574 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650 infcinf 8347

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfl 12591

cmo 12668

cdvds 14983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984

This theorem is referenced by: bezoutlem4 15259

W3C validator