Theorem bezoutlem4 15259

Description: Lemma for bezout 15260. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezout.1	|- M = { z e. NN | E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) }
bezout.3	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezout.4	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezout.2	|- G = inf ( M , RR , < )
bezout.5	|- ( ph -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlem4	|- ( ph -> ( A gcd B ) e. M )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, M, y

Allowed substitution hint:   M( z)

Proof of Theorem bezoutlem4

Dummy variables t s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezout.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		bezout.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		gcddvds 15225	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
5	4	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A gcd B ) || A )
6	1, 2	gcdcld 15230	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A gcd B ) e. NN0 )
7	6	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A gcd B ) e. ZZ )
8		divides 14985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. s e. ZZ ( s x. ( A gcd B ) ) = A ) )
9	7, 1, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) || A <-> E. s e. ZZ ( s x. ( A gcd B ) ) = A ) )
10	5, 9	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> E. s e. ZZ ( s x. ( A gcd B ) ) = A )
11	4	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A gcd B ) || B )
12		divides 14985	. . . . . . 7 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. t e. ZZ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) )
13	7, 2, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) || B <-> E. t e. ZZ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) )
14	11, 13	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> E. t e. ZZ ( t x. ( A gcd B ) ) = B )
15		reeanv 3107	. . . . . 6 |- ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) <-> ( E. s e. ZZ ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. t e. ZZ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) )
16		bezout.1	. . . . . . . . . . 11 |- M = { z e. NN | E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) }
17		bezout.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = inf ( M , RR , < )
18		bezout.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
19	16, 1, 2, 17, 18	bezoutlem2 15257	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. M )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( A x. x ) = ( A x. u ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. y ) ) )
22	21	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> z = ( ( A x. u ) + ( B x. y ) ) ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = v -> ( B x. y ) = ( B x. v ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = v -> ( ( A x. u ) + ( B x. y ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( z = ( ( A x. u ) + ( B x. y ) ) <-> z = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
26	22, 25	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ z = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
27		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = G -> ( z = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
28	27	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = G -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ z = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
29	26, 28	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = G -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
30	29, 16	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. M <-> ( G e. NN /\ E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
31	19, 30	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G e. NN /\ E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
32	31	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
33		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> s e. ZZ )
34		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> u e. ZZ )
35	33, 34	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( s x. u ) e. ZZ )
36		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> t e. ZZ )
37		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> v e. ZZ )
38	36, 37	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( t x. v ) e. ZZ )
39	35, 38	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) e. ZZ )
40	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
41		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) e. ZZ ) -> ( A gcd B ) || ( ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) x. ( A gcd B ) ) )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) x. ( A gcd B ) ) )
43	35	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( s x. u ) e. CC )
44	38	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( t x. v ) e. CC )
45	40	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( A gcd B ) e. CC )
46	43, 44, 45	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) x. ( A gcd B ) ) = ( ( ( s x. u ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( t x. v ) x. ( A gcd B ) ) ) )
47	33	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> s e. CC )
48	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> u e. CC )
49	47, 48, 45	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( s x. u ) x. ( A gcd B ) ) = ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) )
50	36	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> t e. CC )
51	37	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> v e. CC )
52	50, 51, 45	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( t x. v ) x. ( A gcd B ) ) = ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) )
53	49, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( s x. u ) x. ( A gcd B ) ) + ( ( t x. v ) x. ( A gcd B ) ) ) = ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) + ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( s x. u ) + ( t x. v ) ) x. ( A gcd B ) ) = ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) + ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) ) )
55	42, 54	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( A gcd B ) || ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) + ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) ) )
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A -> ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) = ( A x. u ) )
57		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t x. ( A gcd B ) ) = B -> ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) = ( B x. v ) )
58	56, 57	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) + ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) ) = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) )
59	58	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( ( A gcd B ) || ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) x. u ) + ( ( t x. ( A gcd B ) ) x. v ) ) <-> ( A gcd B ) || ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
60	55, 59	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
61		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( A gcd B ) || G <-> ( A gcd B ) || ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) )
62	61	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) <-> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) ) ) )
63	60, 62	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) /\ ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) ) ) -> ( G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) ) )
64	63	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) ) ) )
65	64	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. ZZ /\ v e. ZZ ) ) -> ( G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) ) ) )
66	65	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. u e. ZZ E. v e. ZZ G = ( ( A x. u ) + ( B x. v ) ) -> ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) ) ) )
67	32, 66	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( s e. ZZ /\ t e. ZZ ) -> ( ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) ) )
68	67	rexlimdvv 3037	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s e. ZZ E. t e. ZZ ( ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) )
69	15, 68	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. s e. ZZ ( s x. ( A gcd B ) ) = A /\ E. t e. ZZ ( t x. ( A gcd B ) ) = B ) -> ( A gcd B ) || G ) )
70	10, 14, 69	mp2and 715	. . . 4 |- ( ph -> ( A gcd B ) || G )
71	31	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> G e. NN )
72		dvdsle 15032	. . . . 5 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ G e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || G -> ( A gcd B ) <_ G ) )
73	7, 71, 72	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) || G -> ( A gcd B ) <_ G ) )
74	70, 73	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( A gcd B ) <_ G )
75		breq2 4657	. . . . 5 |- ( A = 0 -> ( G || A <-> G || 0 ) )
76	16, 1, 2	bezoutlem1 15256	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A =/= 0 -> ( abs ` A ) e. M ) )
77	16, 1, 2, 17, 18	bezoutlem3 15258	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) e. M -> G || ( abs ` A ) ) )
78	76, 77	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A =/= 0 -> G || ( abs ` A ) ) )
79	71	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ZZ )
80		dvdsabsb 15001	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( G || A <-> G || ( abs ` A ) ) )
81	79, 1, 80	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G || A <-> G || ( abs ` A ) ) )
82	78, 81	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A =/= 0 -> G || A ) )
83	82	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> G || A )
84		dvds0 14997	. . . . . 6 |- ( G e. ZZ -> G || 0 )
85	79, 84	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G || 0 )
86	75, 83, 85	pm2.61ne 2879	. . . 4 |- ( ph -> G || A )
87		breq2 4657	. . . . 5 |- ( B = 0 -> ( G || B <-> G || 0 ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) } = { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) }
89	88, 2, 1	bezoutlem1 15256	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B =/= 0 -> ( abs ` B ) e. { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) } ) )
90		rexcom 3099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) )
91	1	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. CC )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> A e. CC )
93		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
94	93	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> x e. CC )
95	92, 94	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
96	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. CC )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> B e. CC )
98		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
99	98	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> y e. CC )
100	97, 99	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. CC )
101	95, 100	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) )
102	101	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) ) )
103	102	2rexbidva 3056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) ) )
104	90, 103	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) <-> E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) ) )
105	104	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { z e. NN | E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( A x. x ) + ( B x. y ) ) } = { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) } )
106	16, 105	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M = { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) } )
107	106	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) e. M <-> ( abs ` B ) e. { z e. NN | E. y e. ZZ E. x e. ZZ z = ( ( B x. y ) + ( A x. x ) ) } ) )
108	89, 107	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B =/= 0 -> ( abs ` B ) e. M ) )
109	16, 1, 2, 17, 18	bezoutlem3 15258	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) e. M -> G || ( abs ` B ) ) )
110	108, 109	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B =/= 0 -> G || ( abs ` B ) ) )
111		dvdsabsb 15001	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( G || B <-> G || ( abs ` B ) ) )
112	79, 2, 111	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G || B <-> G || ( abs ` B ) ) )
113	110, 112	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B =/= 0 -> G || B ) )
114	113	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B =/= 0 ) -> G || B )
115	87, 114, 85	pm2.61ne 2879	. . . 4 |- ( ph -> G || B )
116		dvdslegcd 15226	. . . . 5 |- ( ( ( G e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( ( G || A /\ G || B ) -> G <_ ( A gcd B ) ) )
117	79, 1, 2, 18, 116	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G || A /\ G || B ) -> G <_ ( A gcd B ) ) )
118	86, 115, 117	mp2and 715	. . 3 |- ( ph -> G <_ ( A gcd B ) )
119	6	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ph -> ( A gcd B ) e. RR )
120	71	nnred 11035	. . . 4 |- ( ph -> G e. RR )
121	119, 120	letri3d 10179	. . 3 |- ( ph -> ( ( A gcd B ) = G <-> ( ( A gcd B ) <_ G /\ G <_ ( A gcd B ) ) ) )
122	74, 118, 121	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> ( A gcd B ) = G )
123	122, 19	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( A gcd B ) e. M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   abscabs 13974   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  bezout  15260