Theorem binomfallfac 14772

Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
binomfallfac	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, N

Proof of Theorem binomfallfac

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( A + B ) FallFac m ) = ( ( A + B ) FallFac 0 ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
3		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
4		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... 0 ) = { 0 } )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
6	2, 5	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = { 0 } )
7		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( m _C k ) = ( 0 _C k ) )
8		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 0 -> ( m - k ) = ( 0 - k ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 0 -> ( A FallFac ( m - k ) ) = ( A FallFac ( 0 - k ) ) )
10	9	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
11	7, 10	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( m = 0 /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
13	6, 12	sumeq12dv 14437	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
14	1, 13	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) <-> ( ( A + B ) FallFac 0 ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( m = 0 -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac 0 ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( A + B ) FallFac m ) = ( ( A + B ) FallFac n ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... n ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( m _C k ) = ( n _C k ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( m - k ) = ( n - k ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( A FallFac ( m - k ) ) = ( A FallFac ( n - k ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
22	18, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( m = n /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
24	17, 23	sumeq12dv 14437	. . . . . 6 |- ( m = n -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
25	16, 24	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( m = n -> ( ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) <-> ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . . 4 |- ( m = n -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
27		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( A + B ) FallFac m ) = ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( n + 1 ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m _C k ) = ( ( n + 1 ) _C k ) )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m - k ) = ( ( n + 1 ) - k ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( A FallFac ( m - k ) ) = ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
33	29, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( m = ( n + 1 ) /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
35	28, 34	sumeq12dv 14437	. . . . . 6 |- ( m = ( n + 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
36	27, 35	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) <-> ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
37	36	imbi2d 330	. . . 4 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( m = N -> ( ( A + B ) FallFac m ) = ( ( A + B ) FallFac N ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( m = N -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... N ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( m _C k ) = ( N _C k ) )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = N -> ( m - k ) = ( N - k ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( A FallFac ( m - k ) ) = ( A FallFac ( N - k ) ) )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
44	40, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( m = N -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( m = N /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
46	39, 45	sumeq12dv 14437	. . . . . 6 |- ( m = N -> sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
47	38, 46	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( m = N -> ( ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) <-> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
48	47	imbi2d 330	. . . 4 |- ( m = N -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac m ) = sum_ k e. ( 0 ... m ) ( ( m _C k ) x. ( ( A FallFac ( m - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
49		fallfac0 14759	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A FallFac 0 ) = 1 )
50		fallfac0 14759	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B FallFac 0 ) = 1 )
51	49, 50	oveqan12d 6669	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
52		1t1e1 11175	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
53	51, 52	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) = 1 )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
55	54, 52	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) = 1 )
56		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
57		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
58	55, 57	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) e. CC )
59		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = ( 0 _C 0 ) )
60		0nn0 11307	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
61		bcnn 13099	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. NN0 -> ( 0 _C 0 ) = 1 )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 0 _C 0 ) = 1
63	59, 62	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( 0 _C k ) = 1 )
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( 0 - k ) = ( 0 - 0 ) )
65		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 - 0 ) = 0
66	64, 65	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( 0 - k ) = 0 )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( A FallFac ( 0 - k ) ) = ( A FallFac 0 ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( B FallFac k ) = ( B FallFac 0 ) )
69	67, 68	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) )
70	63, 69	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) )
71	70	sumsn 14475	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. CC /\ ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) )
72	56, 58, 71	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( 1 x. ( ( A FallFac 0 ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) )
73		addcl 10018	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
74		fallfac0 14759	. . . . . 6 |- ( ( A + B ) e. CC -> ( ( A + B ) FallFac 0 ) = 1 )
75	73, 74	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac 0 ) = 1 )
76	55, 72, 75	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac 0 ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 _C k ) x. ( ( A FallFac ( 0 - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
77		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> A e. CC )
78		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> B e. CC )
79		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN0 /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) -> n e. NN0 )
80		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) -> ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
81	77, 78, 79, 80	binomfallfaclem2 14771	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 /\ ( A e. CC /\ B e. CC ) ) /\ ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) -> ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
82	81	exp31 630	. . . . 5 |- ( n e. NN0 -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) -> ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
83	82	a2d 29	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac n ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( n _C k ) x. ( ( A FallFac ( n - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac ( n + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( n + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( n + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) ) )
84	15, 26, 37, 48, 76, 83	nn0ind 11472	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
85	84	com12 32	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( N e. NN0 -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
86	85	3impia 1261	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   sum_csu 14416   FallFac cfallfac 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-risefac 14737  df-fallfac 14738

This theorem is referenced by:  binomrisefac  14773