Theorem binomfallfaclem2 14771

Description: Lemma for binomfallfac 14772. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomfallfaclem.1	|- ( ph -> A e. CC )
binomfallfaclem.2	|- ( ph -> B e. CC )
binomfallfaclem.3	|- ( ph -> N e. NN0 )
binomfallfaclem.4	|- ( ps -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
binomfallfaclem2	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) FallFac ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   k, N   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   ps( k)

Proof of Theorem binomfallfaclem2

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. ZZ )
3		bccl 13109	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
5	4	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
6		binomfallfaclem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
7		fznn0sub 12373	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
8		fallfaccl 14747	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A FallFac ( N - k ) ) e. CC )
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A FallFac ( N - k ) ) e. CC )
10		binomfallfaclem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
11		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
12		fallfaccl 14747	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B FallFac k ) e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B FallFac k ) e. CC )
14	9, 13	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) e. CC )
15	6, 10	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + B ) e. CC )
16	1	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
17	15, 16	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + B ) - N ) e. CC )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A + B ) - N ) e. CC )
19	5, 14, 18	mulassd 10063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) ) )
20	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. CC )
21		subcl 10280	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. CC ) -> ( A - ( N - k ) ) e. CC )
22	6, 20, 21	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A - ( N - k ) ) e. CC )
23	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. CC )
24		subcl 10280	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ k e. CC ) -> ( B - k ) e. CC )
25	10, 23, 24	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B - k ) e. CC )
26	14, 22, 25	adddid 10064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A - ( N - k ) ) + ( B - k ) ) ) = ( ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) + ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( B - k ) ) ) )
27	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
28	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
29	27, 28	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A - N ) e. CC )
30	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. CC )
31	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B e. CC )
32	29, 30, 31	ppncand 10432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A - N ) + k ) + ( B - k ) ) = ( ( A - N ) + B ) )
33	27, 28, 30	subsubd 10420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A - ( N - k ) ) = ( ( A - N ) + k ) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A - ( N - k ) ) + ( B - k ) ) = ( ( ( A - N ) + k ) + ( B - k ) ) )
35	27, 31, 28	addsubd 10413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A + B ) - N ) = ( ( A - N ) + B ) )
36	32, 34, 35	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A - ( N - k ) ) + ( B - k ) ) = ( ( A + B ) - N ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A - ( N - k ) ) + ( B - k ) ) ) = ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
38	9, 13, 22	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) = ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
39		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
40	28, 39, 30	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A FallFac ( ( N - k ) + 1 ) ) )
42		fallfacp1 14761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( N - k ) e. NN0 ) -> ( A FallFac ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) )
43	6, 7, 42	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A FallFac ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
46	38, 45	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) = ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
47	9, 13, 25	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( B - k ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( ( B FallFac k ) x. ( B - k ) ) ) )
48		fallfacp1 14761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B FallFac ( k + 1 ) ) = ( ( B FallFac k ) x. ( B - k ) ) )
49	10, 11, 48	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B FallFac ( k + 1 ) ) = ( ( B FallFac k ) x. ( B - k ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( ( B FallFac k ) x. ( B - k ) ) ) )
51	47, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( B - k ) ) = ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) )
52	46, 51	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( A - ( N - k ) ) ) + ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( B - k ) ) ) = ( ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) + ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) )
53	26, 37, 52	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = ( ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) + ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) + ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
55	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
56		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
57		peano2uz 11741	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
58		fzss2 12381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
59	55, 56, 57, 58	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
60	59	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
61		fznn0sub 12373	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 )
62		fallfaccl 14747	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
63	6, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
64	60, 63	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) e. CC )
65	64, 13	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) e. CC )
66		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
67	11, 66	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
68		fallfaccl 14747	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( B FallFac ( k + 1 ) ) e. CC )
69	10, 67, 68	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B FallFac ( k + 1 ) ) e. CC )
70	9, 69	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) e. CC )
71	5, 65, 70	adddid 10064	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) + ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
72	19, 54, 71	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
73	72	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	15, 1	fallfacp1d 14763	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + B ) FallFac ( N + 1 ) ) = ( ( ( A + B ) FallFac N ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
76		binomfallfaclem.4	. . . . 5 |- ( ps -> ( ( A + B ) FallFac N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ps -> ( ( ( A + B ) FallFac N ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
78	75, 77	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) FallFac ( N + 1 ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
79		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
80	5, 14	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) e. CC )
81	79, 17, 80	fsummulc1 14517	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
82	81	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
83	78, 82	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) FallFac ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) x. ( ( A + B ) - N ) ) )
84		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
85		bcpasc 13108	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
86	1, 84, 85	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
88	1, 84, 3	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
89	88	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
90		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ )
91	84, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
92		bccl 13109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
93	1, 91, 92	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
94	93	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
95		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
96	10, 95, 12	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B FallFac k ) e. CC )
97	63, 96	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) e. CC )
98	89, 94, 97	adddird 10065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
99	87, 98	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
100	99	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
101		nn0uz 11722	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
102	1, 101	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
103	89, 97	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) e. CC )
104		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( N _C k ) = ( N _C ( N + 1 ) ) )
105		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) )
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
107		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( B FallFac k ) = ( B FallFac ( N + 1 ) ) )
108	106, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) )
109	104, 108	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( N _C ( N + 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) )
110	102, 103, 109	fsump1 14487	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( N + 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) ) )
111		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
113	112	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
114	1	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
115	114	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N < ( N + 1 ) )
116	115	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) )
117		bcval4 13094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( ( N + 1 ) < 0 \/ N < ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
118	1, 113, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N _C ( N + 1 ) ) = 0 )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C ( N + 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) = ( 0 x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) )
120	112	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. CC )
121	120	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) = 0 )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) = ( A FallFac 0 ) )
123		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
124		fallfaccl 14747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. NN0 ) -> ( A FallFac 0 ) e. CC )
125	6, 123, 124	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A FallFac 0 ) e. CC )
126	122, 125	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) e. CC )
127		fallfaccl 14747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( B FallFac ( N + 1 ) ) e. CC )
128	10, 112, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B FallFac ( N + 1 ) ) e. CC )
129	126, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) e. CC )
130	129	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) = 0 )
131	119, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C ( N + 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) = 0 )
132	131	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( N + 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + 0 ) )
133	60, 103	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) e. CC )
134	79, 133	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) e. CC )
135	134	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + 0 ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
136	110, 132, 135	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
137	112, 101	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
138	94, 97	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) e. CC )
139		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( k - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
140		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
141	139, 140	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k - 1 ) = -u 1 )
142	141	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( N _C ( k - 1 ) ) = ( N _C -u 1 ) )
143		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( ( N + 1 ) - k ) = ( ( N + 1 ) - 0 ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) = ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) )
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( B FallFac k ) = ( B FallFac 0 ) )
146	144, 145	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) = ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) )
147	142, 146	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( N _C -u 1 ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) )
148	137, 138, 147	fsum1p 14482	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = ( ( ( N _C -u 1 ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
149		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. ZZ
150		neg1lt0 11127	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 < 0
151	150	orci 405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 < 0 \/ N < -u 1 )
152		bcval4 13094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ -u 1 e. ZZ /\ ( -u 1 < 0 \/ N < -u 1 ) ) -> ( N _C -u 1 ) = 0 )
153	149, 151, 152	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( N _C -u 1 ) = 0 )
154	1, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N _C -u 1 ) = 0 )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C -u 1 ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) = ( 0 x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) )
156	120	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 0 ) = ( N + 1 ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) = ( A FallFac ( N + 1 ) ) )
158		fallfaccl 14747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( A FallFac ( N + 1 ) ) e. CC )
159	6, 112, 158	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A FallFac ( N + 1 ) ) e. CC )
160	157, 159	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) e. CC )
161		fallfaccl 14747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ 0 e. NN0 ) -> ( B FallFac 0 ) e. CC )
162	10, 123, 161	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B FallFac 0 ) e. CC )
163	160, 162	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) e. CC )
164	163	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) = 0 )
165	155, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C -u 1 ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) = 0 )
166		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
167		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
168	6, 10, 1	binomfallfaclem1 14770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
169		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( N _C j ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
170		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( N - j ) = ( N - ( k - 1 ) ) )
171	170	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( A FallFac ( N - j ) ) = ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) )
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k - 1 ) + 1 ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( B FallFac ( j + 1 ) ) = ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
174	171, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) = ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) )
175	169, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
176	166, 167, 55, 168, 175	fsumshft 14512	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) )
177	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> N e. CC )
178		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ )
179	178	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
180	179	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
181		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
182	177, 180, 181	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) - k ) )
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) = ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) )
184	180, 181	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( B FallFac k ) )
186	183, 185	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
188	187	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( N - ( k - 1 ) ) ) x. ( B FallFac ( ( k - 1 ) + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )
189	176, 188	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) ) )
190		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( N _C k ) = ( N _C j ) )
191		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( N - k ) = ( N - j ) )
192	191	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( A FallFac ( N - k ) ) = ( A FallFac ( N - j ) ) )
193		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( B FallFac ( k + 1 ) ) = ( B FallFac ( j + 1 ) ) )
195	192, 194	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) = ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) )
196	190, 195	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) ) )
197	196	cbvsumv 14426	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( N _C j ) x. ( ( A FallFac ( N - j ) ) x. ( B FallFac ( j + 1 ) ) ) )
198	189, 197	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) )
199	165, 198	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C -u 1 ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - 0 ) ) x. ( B FallFac 0 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) = ( 0 + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
200	6, 10, 1	binomfallfaclem1 14770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
201	79, 200	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
202	201	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) )
203	148, 199, 202	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) )
204	136, 203	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
205		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
206	205, 103, 138	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) )
207	79, 133, 200	fsumadd 14470	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
208	204, 206, 207	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
209	100, 208	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
210	209	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) + ( ( N _C k ) x. ( ( A FallFac ( N - k ) ) x. ( B FallFac ( k + 1 ) ) ) ) ) )
211	74, 83, 210	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( A + B ) FallFac ( N + 1 ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( N + 1 ) _C k ) x. ( ( A FallFac ( ( N + 1 ) - k ) ) x. ( B FallFac k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   _C cbc 13089   sum_csu 14416   FallFac cfallfac 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-fallfac 14738

This theorem is referenced by:  binomfallfac  14772