Theorem bitsfzolem 15156

Description: Lemma for bitsfzo 15157. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzo.1	|- ( ph -> N e. NN0 )
bitsfzo.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
bitsfzo.3	|- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
bitsfzo.4	|- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolem	|- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   ph( n)   S( n)   M( n)

Proof of Theorem bitsfzolem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzo.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		2nn 11185	. . . . 5 |- 2 e. NN
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
6		bitsfzo.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
7	5, 6	nnexpcld 13030	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. NN )
8	7	nnzd 11481	. 2 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. ZZ )
9		bitsfzo.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
11		n2dvds1 15104	. . . . . . . . 9 |- -. 2 || 1
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. NN )
13		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ NN0
14		bitsfzo.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < )
15	13, 2	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 )
16		nnssnn0 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN C_ NN0
17	1	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. RR )
18		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 2 e. RR )
20		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 1 < 2 )
22		expnbnd 12993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
24		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) ) )
25	16, 23, 24	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
26		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) <-> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) )
28		infssuzcl 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
29	15, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
30	14, 29	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
31	13, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. NN0 )
32	31	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S e. ZZ )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. ZZ )
34		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 e. RR )
35	6	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. ZZ )
37	36	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. RR )
38	33	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. RR )
39	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. NN0 )
40	39	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 <_ M )
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR )
42	41, 39	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
43	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. RR )
44	5, 31	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 2 ^ S ) e. NN )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. NN )
46	45	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. RR )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) <_ N )
48	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
49		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = S -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ S ) )
50	49	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = S -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ S ) ) )
51		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
52	51	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ m ) ) )
53	52	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { m e. NN0 | N < ( 2 ^ m ) }
54	50, 53	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( S e. NN0 /\ N < ( 2 ^ S ) ) )
55	54	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> N < ( 2 ^ S ) )
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( 2 ^ S ) )
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) )
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 < 2 )
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
60	57, 59	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M < S )
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 < S )
62		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S e. NN <-> ( S e. ZZ /\ 0 < S ) )
63	33, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. NN )
64		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> ( S - 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. NN0 )
66	12, 65	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
67	66	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. CC )
68	67	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
69	38	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < S )
70	65	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. RR )
71	70, 38	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
72	69, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ ( S - 1 ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
74	73	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
75	74, 53	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
76		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
77	15, 76	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> inf ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , < ) <_ ( S - 1 ) )
78	14, 77	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) ) )
80	75, 79	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
81	65, 80	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
82	72, 81	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
83	66	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR )
84	83, 43	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N <-> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
85	82, 84	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N )
86	68, 85	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N )
87		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. RR )
88		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR+ )
90		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ZZ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. ZZ )
92	33, 91	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
93	89, 92	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR+ )
94	87, 43, 93	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N <-> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
95	86, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
96		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
97		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. NN ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
98	96, 63, 97	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
99	56, 98	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
100	43, 41, 93	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 <-> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) ) )
101	99, 100	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 )
102		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
103	101, 102	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) )
104	43, 93	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. RR )
105		flbi 12617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
106	104, 90, 105	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
107	95, 103, 106	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 )
108	107	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) <-> 2 || 1 ) )
109	11, 108	mtbiri 317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
110	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. ZZ )
112		bitsval2 15147	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
113	111, 65, 112	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
114	109, 113	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. (bits ` N ) )
115	10, 114	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) )
116		elfzolt2 12479	. . . . . 6 |- ( ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) -> ( S - 1 ) < M )
117	115, 116	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < M )
118		zlem1lt 11429	. . . . . 6 |- ( ( S e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
119	33, 36, 118	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
120	117, 119	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S <_ M )
121	37, 38	ltnled 10184	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
122	60, 121	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ M )
123	120, 122	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ M ) <_ N )
124	7	nnred 11035	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. RR )
125	17, 124	ltnled 10184	. . 3 |- ( ph -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
126	123, 125	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> N < ( 2 ^ M ) )
127		elfzo2 12473	. 2 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ M ) ) )
128	3, 8, 126, 127	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   || cdvds 14983  bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984  df-bits 15144

This theorem is referenced by:  bitsfzo  15157