hspmbl - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem hspmbl 40843

Description: Any half-space of the n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hspmbl.1
hspmbl.x
hspmbl.i
hspmbl.y

**Assertion**
Ref	Expression
hspmbl	voln

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem hspmbl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hspmbl.x	. . . 4
2	1	ovnome 40787	. . 3 voln^* OutMeas
3		eqid 2622	. . 3 voln^* voln^*
4		eqid 2622	. . 3 CaraGenvoln^* CaraGenvoln^*
5		ovex 6678	. . . . . . . . 9
6		reex 10027	. . . . . . . . 9
7	5, 6	ifex 4156	. . . . . . . 8
8	7	ixpssmap 7942	. . . . . . 7
9		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12
10		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
12	9, 11	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11
13		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12
14		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
16	13, 15	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11
17	12, 16	pm2.61i 176	. . . . . . . . . 10
18	17	rgenw 2924	. . . . . . . . 9
19		iunss 4561	. . . . . . . . 9
20	18, 19	mpbir 221	. . . . . . . 8
21		mapss 7900	. . . . . . . 8 $/\$
22	6, 20, 21	mp2an 708	. . . . . . 7
23	8, 22	sstri 3612	. . . . . 6
24	7	rgenw 2924	. . . . . . . 8
25		ixpexg 7932	. . . . . . . 8
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7
27		elpwg 4166	. . . . . . 7
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . 6
29	23, 28	mpbir 221	. . . . 5
30	29	a1i 11	. . . 4
31		hspmbl.1	. . . . . . 7
32		equid 1939	. . . . . . . . 9
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9
34		equequ1 1952	. . . . . . . . . . 11
35	34	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10
36	35	cbvixpv 7926	. . . . . . . . 9
37	32, 33, 36	mpt2eq123i 6718	. . . . . . . 8
38	37	mpteq2i 4741	. . . . . . 7
39	31, 38	eqtri 2644	. . . . . 6
40		hspmbl.i	. . . . . 6
41		hspmbl.y	. . . . . 6
42	39, 1, 40, 41	hspval 40823	. . . . 5
43	1	ovnf 40777	. . . . . . . . 9 voln^*
44		fdm 6051	. . . . . . . . 9 voln^* voln^*
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 voln^*
46	45	unieqd 4446	. . . . . . 7 voln^*
47		unipw 4918	. . . . . . . 8
48	47	a1i 11	. . . . . . 7
49	46, 48	eqtrd 2656	. . . . . 6 voln^*
50	49	pweqd 4163	. . . . 5 voln^*
51	42, 50	eleq12d 2695	. . . 4 voln^*
52	30, 51	mpbird 247	. . 3 voln^*
53		simpl 473	. . . 4 $/\$ voln^*
54		simpr 477	. . . . 5 $/\$ voln^* voln^*
55	53, 50	syl 17	. . . . 5 $/\$ voln^* voln^*
56	54, 55	eleqtrd 2703	. . . 4 $/\$ voln^*
57	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
58		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
60		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12
61	59, 60	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	57, 62	ovnxrcl 40783	. . . . . . . . 9 $/\$ voln^*
64	60	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	64	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
66	57, 65	ovnxrcl 40783	. . . . . . . . 9 $/\$ voln^* $\$
67	63, 66	xaddcld 12131	. . . . . . . 8 $/\$ voln^* voln^* $\$
68		pnfge 11964	. . . . . . . 8 voln^* voln^* $\$ voln^* voln^* $\$
69	67, 68	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ voln^* voln^* $\$
70	69	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ voln^* voln^* voln^* $\$
71		id 22	. . . . . . . 8 voln^* voln^*
72	71	eqcomd 2628	. . . . . . 7 voln^* voln^*
73	72	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$ voln^* voln^*
74	70, 73	breqtrd 4679	. . . . 5 $/\$ $/\$ voln^* voln^* voln^* $\$ voln^*
75		simpl 473	. . . . . 6 $/\$ $/\$ voln^* $/\$
76	57, 64	ovncl 40781	. . . . . . . 8 $/\$ voln^*
77	76	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^* voln^*
78		neqne 2802	. . . . . . . 8 voln^* voln^*
79	78	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^* voln^*
80		ge0xrre 39758	. . . . . . 7 voln^* $/\$ voln^* voln^*
81	77, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ voln^* voln^*
82	57	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^*
83	40	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^*
84	41	ad2antrr 762	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^*
85		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^* voln^*
86	64	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ voln^*
87		sseq1 3626	. . . . . . . . 9
88	87	rabbidv 3189	. . . . . . . 8
89	88	cbvmptv 4750	. . . . . . 7
90		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	90	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92	91	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
94	93	prodeq2dv 14653	. . . . . . . 8
95	94	cbvmptv 4750	. . . . . . 7
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
97	96	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
100	99	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
101	100	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102	101	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103	98, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
105	104	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106	105	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107	106	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
108		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
109	108	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110	109	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111	110	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
113	112	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
115	114	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116	115	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117	116	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118	117	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120	113, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121	120	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122	121	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
123	107, 122	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
124	123	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . 15
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
126		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
127	125, 126	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13
128	127	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
129		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130	129	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131	130	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132	131	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
135	133, 134	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . 16
136	135	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
138	137	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
139		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 voln^* voln^*
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 voln^* voln^*
141	138, 140	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
142	128, 141	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
143	142	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
144	143	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
145		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14
146	145	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
147		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 voln^* voln^*
148	147	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
149	146, 148	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Σ^{^} voln^* $/\$ Σ^{^} voln^*
150	149	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
151	150	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
152	151	a1i 11	. . . . . . . . 9 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
153	144, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
154	153	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 Σ^{^} voln^* Σ^{^} voln^*
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
157	156	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8
158	157	mpteq2i 4741	. . . . . . 7
159		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
160	159	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11
161	160	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
162	161	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9
163	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
164	163	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10
165	164	a1i 11	. . . . . . . . 9
166	162, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
167	166	cbvmptv 4750	. . . . . . 7
168	39, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 95, 154, 158, 167	hspmbllem3 40842	. . . . . 6 $/\$ $/\$ voln^* voln^* voln^* $\$ voln^*
169	75, 81, 168	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ voln^* voln^* voln^* $\$ voln^*
170	74, 169	pm2.61dan 832	. . . 4 $/\$ voln^* voln^* $\$ voln^*
171	53, 56, 170	syl2anc 693	. . 3 $/\$ voln^* voln^* voln^* $\$ voln^*
172	2, 3, 4, 52, 171	caragenel2d 40746	. 2 CaraGenvoln^*
173	1	dmvon 40820	. . 3 voln CaraGenvoln^*
174	173	eqcomd 2628	. 2 CaraGenvoln^* voln
175	172, 174	eleqtrd 2703	1 voln

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574

cif 4086

cpw 4158

cuni 4436

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cixp 7908

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

cle 10075

cn 11020

crp 11832

cxad 11944

cioo 12175

cico 12177

cicc 12178

cprod 14635

cvol 23232 Σ^{^}csumge0 40579 CaraGenccaragen 40705 voln^*covoln 40750 volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-ac2 9285 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-ac 8939 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-prod 14636 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-rest 16083 df-0g 16102 df-topgen 16104 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-subg 17591 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-drng 18749 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-sumge0 40580 df-ome 40704 df-caragen 40706 df-ovoln 40751 df-voln 40753

This theorem is referenced by: hoimbllem 40844

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