Theorem caucvg 14409

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caucvg.2	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
caucvg.3	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
caucvg.4	|- ( ph -> F e. V )

Assertion

Ref	Expression
caucvg	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   ph, j, k, x   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   V( x, j, k)

Proof of Theorem caucvg

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
2	1	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) = ( n e. Z |-> ( F ` n ) )
3		caucvg.1	. . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		uzssz 11707	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
5	3, 4	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- Z C_ ZZ
6		zssre 11384	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
7	5, 6	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- Z C_ RR
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z C_ RR )
9		caucvg.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
10	2	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
11	9, 10	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) : Z --> CC )
12		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
13	12	ne0ii 3923	. . . . . . . . . 10 |- RR+ =/= (/)
14		caucvg.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
15		r19.2z 4060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
16	13, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x )
17		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
18	17, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> M e. ZZ )
19	18	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> M e. ZZ ) )
20	19	rexlimiv 3027	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> M e. ZZ )
21	20	rexlimivw 3029	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> M e. ZZ )
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
23	3	uzsup 12662	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
25	5	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
26	5	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
27		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ k ) )
28	25, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( k e. ( ZZ>= ` j ) <-> j <_ k ) )
29	28	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( j <_ k -> k e. ( ZZ>= ` j ) ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) = ( n e. Z |-> ( F ` n ) )
32		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` n ) e. _V
33	30, 31, 32	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( F ` n ) = ( F ` j ) )
35	34, 31, 32	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) = ( F ` j ) )
36	33, 35	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) = ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
38	37	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
39	38	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
40	29, 39	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. Z /\ k e. Z ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> ( k e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) ) ) )
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( k e. Z -> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) ) ) )
43	42	ralimdv2 2961	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. k e. Z ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) ) )
44	43	reximia 3009	. . . . . . . . 9 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> E. j e. Z A. k e. Z ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
45	44	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. Z ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
46	14, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. Z ( j <_ k -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` k ) - ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ` j ) ) ) < x ) )
47	8, 11, 24, 46	caucvgr 14406	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) e. dom ~~> r )
48	11, 24	rlimdm 14282	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) e. dom ~~> r <-> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) ) )
49	47, 48	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) )
50	2, 49	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) )
51		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
52	9, 51	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) : Z --> CC )
53	3, 22, 52	rlimclim 14277	. . . 4 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) <-> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) ) )
54	50, 53	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) )
55		caucvg.4	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
56	3, 51	climmpt 14302	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) <-> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) ) )
57	22, 55, 56	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) <-> ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) ) )
58	54, 57	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> F ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) )
59		climrel 14223	. . 3 |- Rel ~~>
60	59	releldmi 5362	. 2 |- ( F ~~> ( ~~> r ` ( n e. Z |-> ( F ` n ) ) ) -> F e. dom ~~> )
61	58, 60	syl 17	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caucvgb  14410  cvgcmpce  14550  ulmcau  24149  dchrisumlem3  25180  rrncmslem  33631