Theorem caurcvg 14407

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The fourth hypothesis specifies that F is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caurcvg.3	|- ( ph -> F : Z --> RR )
caurcvg.4	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x )

Assertion

Ref	Expression
caurcvg	|- ( ph -> F ~~> ( limsup ` F ) )

Distinct variable groups:   k, m, x, F   m, M, x   ph, k, m, x   k, Z, m, x

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem caurcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvg.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		uzssz 11707	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
4		zssre 11384	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3612	. . . 4 |- Z C_ RR
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Z C_ RR )
7		caurcvg.3	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR )
8		1rp 11836	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
9	8	ne0ii 3923	. . . . 5 |- RR+ =/= (/)
10		caurcvg.4	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x )
11		r19.2z 4060	. . . . 5 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x )
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x )
13		eluzel2 11692	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
14	13, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z -> M e. ZZ )
15	1	uzsup 12662	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( m e. Z -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
17	16	a1d 25	. . . . . 6 |- ( m e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo ) )
18	17	rexlimiv 3027	. . . . 5 |- ( E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
19	18	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
20	12, 19	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
21	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Z -> m e. ZZ )
22	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
23		eluz 11701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` m ) <-> m <_ k ) )
24	21, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ k e. Z ) -> ( k e. ( ZZ>= ` m ) <-> m <_ k ) )
25	24	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. Z /\ k e. Z ) -> ( m <_ k -> k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
26	25	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( m e. Z -> ( ( k e. Z /\ m <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) ) )
27	26	imim1d 82	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( ( k e. Z /\ m <_ k ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
28	27	exp4a 633	. . . . . . 7 |- ( m e. Z -> ( ( k e. ( ZZ>= ` m ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( k e. Z -> ( m <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) ) )
29	28	ralimdv2 2961	. . . . . 6 |- ( m e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> A. k e. Z ( m <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
30	29	reximia 3009	. . . . 5 |- ( E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> E. m e. Z A. k e. Z ( m <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
31	30	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. Z ( m <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
32	10, 31	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. Z ( m <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
33	6, 7, 20, 32	caurcvgr 14404	. 2 |- ( ph -> F ~~> r ( limsup ` F ) )
34	14	a1d 25	. . . . . 6 |- ( m e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> M e. ZZ ) )
35	34	rexlimiv 3027	. . . . 5 |- ( E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> M e. ZZ )
36	35	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. x e. RR+ E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x -> M e. ZZ )
37	12, 36	syl 17	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
39		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : Z --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : Z --> CC )
40	7, 38, 39	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> CC )
41	1, 37, 40	rlimclim 14277	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> r ( limsup ` F ) <-> F ~~> ( limsup ` F ) ) )
42	33, 41	mpbid 222	1 |- ( ph -> F ~~> ( limsup ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caurcvg2  14408  mbflimlem  23434  climlimsup  39992  ioodvbdlimc1lem1  40146