Theorem caurcvg2 14408

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges, existence version. (Contributed by NM, 4-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
caurcvg2.2	|- ( ph -> F e. V )
caurcvg2.3	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
caurcvg2	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   j, M, k, x   ph, j, k, x   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   V( x, j, k)

Proof of Theorem caurcvg2

Dummy variables i m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . 4 |- 1 e. RR+
2	1	ne0ii 3923	. . 3 |- RR+ =/= (/)
3		caurcvg2.3	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
4		r19.2z 4060	. . 3 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) -> E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
6		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> ( F ` k ) e. RR )
7	6	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR )
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` j )
9		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
12	11	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
13	9, 12	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) )
15	13, 14	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = m -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` m ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = m -> ( F ` j ) = ( F ` m ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j = m -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) = ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = m -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) )
20	19	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = m -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
21	20	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = m -> ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
22	16, 21	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = m -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
23	22	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` i ) e. RR ) )
26	24	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) = ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = i -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = i -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
29	25, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = i -> ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( ( F ` i ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
30	29	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
31		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` i ) e. RR -> ( F ` i ) e. CC )
32	31	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` i ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
33	32	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
34	30, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
35	34	reximi 3011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. m e. Z A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
36	23, 35	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
37	36	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
38	3, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
40		caucvg.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
41	40, 8	cau4 14096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. Z -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
43	39, 42	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x )
45	8	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> i e. ( ZZ>= ` j ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` i ) e. _V
48	46, 14, 47	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) = ( F ` i ) )
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) = ( F ` i ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
51		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` m ) e. _V
52	50, 14, 51	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) = ( F ` m ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) = ( F ` m ) )
54	49, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) = ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) )
56	55	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
57	44, 56	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` j ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x ) )
58	57	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x ) )
59	58	reximia 3009	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x )
60	59	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( F ` i ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( F ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x )
61	43, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` i ) - ( ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ` m ) ) ) < x )
62	8, 15, 61	caurcvg 14407	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) )
63		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
64	63, 40	eleq2s 2719	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> j e. ZZ )
66		caurcvg2.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. V )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> F e. V )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
69	68	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` k ) )
70	8, 69	climmpt 14302	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) ) )
71	65, 67, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> ( F ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) ) )
72	62, 71	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> F ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) )
73		climrel 14223	. . . . . . . 8 |- Rel ~~>
74	73	releldmi 5362	. . . . . . 7 |- ( F ~~> ( limsup ` ( n e. ( ZZ>= ` j ) |-> ( F ` n ) ) ) -> F e. dom ~~> )
75	72, 74	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR ) ) -> F e. dom ~~> )
76	75	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. RR -> F e. dom ~~> ) )
77	7, 76	syl5 34	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> F e. dom ~~> ) )
78	77	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> F e. dom ~~> ) )
79	78	rexlimdvw 3034	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) -> F e. dom ~~> ) )
80	5, 79	mpd 15	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  iseralt  14415  cvgcmp  14548