iseralt - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > iseralt		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem iseralt 14415

Description: The alternating series test. If

is a decreasing sequence that converges to

, then

is a convergent series. (Note that the first term is positive if

is even, and negative if

is odd. If the parity of your series does not match up with this, you will need to post-compose the series with multiplication by

using isermulc2 14388.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
iseralt.1
iseralt.2
iseralt.3
iseralt.4	$/\$
iseralt.5
iseralt.6	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
iseralt

Distinct variable groups:

Proof of Theorem iseralt Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseralt.1	. 2
2		seqex 12803	. . 3
3	2	a1i 11	. 2
4		iseralt.5	. . . 4
5		iseralt.2	. . . . 5
6		climrel 14223	. . . . . . 7
7	6	brrelexi 5158	. . . . . 6
8	4, 7	syl 17	. . . . 5
9		eqidd 2623	. . . . 5 $/\$
10		iseralt.3	. . . . . . 7
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 $/\$
12	11	recnd 10068	. . . . 5 $/\$
13	1, 5, 8, 9, 12	clim0c 14238	. . . 4
14	4, 13	mpbid 222	. . 3
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
16	15, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
17		eluzelz 11697	. . . . . . . 8
18		uzid 11702	. . . . . . . 8
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20		peano2uz 11741	. . . . . . 7
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
23	22	breq1d 4663	. . . . . . . 8
24	23	rspcv 3305	. . . . . . 7
25	19, 20, 24	3syl 18	. . . . . 6 $/\$ $/\$
26		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27	26	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
28	27	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
29	17, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
31	30	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
32	28, 31	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
33		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
34		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
36	32, 33, 35	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
38	31, 28	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
39	37, 38	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
44		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
46	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
48	27, 30	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
49	48	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
50		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
52	27	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
53	30	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	52, 53	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
55	51, 54	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
56		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
58		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
60		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
61	49, 55, 57, 59, 60	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
63		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	47, 62, 63	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
65		iseralt.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
66		iseralt.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
67	1, 5, 10, 65, 4, 66	iseraltlem3 14414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68	67	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
69	44, 46, 64, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
70	43, 69	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
71		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
72	71	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
74	32, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
75	74, 33, 33, 35	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
76		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
77	76	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
78		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
80	32, 79, 79	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
81	77, 80	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
83	75, 82	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
84	72, 83	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
86		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
87	32, 78, 86	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
88	87, 33, 35	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89	28, 31, 79	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
90	85, 88, 89	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
92		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
93	28, 78, 92	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
94	31, 93	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
95	91, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
96	95	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
97		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
98	28, 78, 97	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
99	96, 98	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
104		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
105	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
107		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108	107	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
109		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
111	110	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
112	111	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
113	112	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
115		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
116	106, 114, 115	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
117		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119	1, 5, 10, 65, 4, 66	iseraltlem3 14414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121	104, 105, 118, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
122	103, 121	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123		zeo 11463	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
124	48, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
125	70, 122, 124	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	1	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
129	10, 127, 128	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
130	1, 5, 10, 65, 4	iseraltlem1 14412	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
131	127, 130	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
132	129, 131	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
133	125, 132	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
134	133	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
135		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
137		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
139		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140	139, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
142	136, 138, 141	reexpclzd 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
144	142, 143	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
145	66, 144	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
146	1, 5, 145	serfre 12830	. . . . . . . . . . . . . . . 16
147	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
148		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
149	146, 147, 148	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
150		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	146, 45, 150	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
152	149, 151	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
153	152	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
154	153	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
155	154	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
156	132, 129	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
157	156	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
158		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12
159	158	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
160		lelttr 10128	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
161	155, 157, 159, 160	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	134, 161	mpand 711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
163	146	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
164	163, 147, 148	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
165	162, 164	jctild 566	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	165	anassrs 680	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	166	ralrimdva 2969	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
168	25, 167	syld 47	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
169	168	reximdva 3017	. . . 4 $/\$ $/\$
170	169	ralimdva 2962	. . 3 $/\$
171	14, 170	mpd 15	. 2 $/\$
172	1, 3, 171	caurcvg2 14408	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 class class class wbr 4653

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220

This theorem is referenced by: leibpi 24669

W3C validator