Theorem cvgcmp 14548

Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. Exercise 3 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 1-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgcmp.2	|- ( ph -> N e. Z )
cvgcmp.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
cvgcmp.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp.5	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
cvgcmp.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   ph, k   k, M   k, N   k, Z

Proof of Theorem cvgcmp

Dummy variables n m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmp.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		seqex 12803	. . 3 |- seq M ( + , G ) e. _V
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. _V )
4		cvgcmp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. Z )
5	4, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		eluzel2 11692	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		cvgcmp.5	. . . . . 6 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
9	1	climcau 14401	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , F ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x )
11		cvgcmp.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
12	1, 7, 11	serfre 12830	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC )
15	14	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. Z ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC )
16	1	r19.29uz 14090	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. Z ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) )
17	16	ex 450	. . . . . . 7 |- ( A. n e. Z ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC -> ( E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x -> E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) ) )
18	15, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x -> E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) ) )
19	18	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) ) )
20	10, 19	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) )
21	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
22	4, 21	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
23		cvgcmp.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. RR )
24	1, 7, 23	serfre 12830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR )
26	25	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
27	22, 26	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` N ) ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> A. n e. ( ZZ>= ` N ) ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
30		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ph )
31	30, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> seq M ( + , F ) : Z --> RR )
32	30, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> N e. Z )
33		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
34	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> m e. Z )
35	32, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> m e. Z )
36	31, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) e. RR )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
38	37	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
40	32, 39, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. Z )
41	30, 40, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) e. RR )
42	30, 40, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR )
43	30, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> seq M ( + , G ) : Z --> RR )
44	43, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` m ) e. RR )
45	42, 44	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) e. RR )
46	35, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
47		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` m ) )
48		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
49	48, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = k -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
52	50, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = k -> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) )
54		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
57	11, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. RR )
58	56, 57	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) e. RR )
59	30, 49, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) e. RR )
60		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ( m + 1 ) ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
61		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
62	33, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
63	37	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
64	62, 63	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
65		cvgcmp.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
66	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
67	4, 66	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
68	11, 23	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) <-> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) ) )
69	67, 68	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) <-> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) ) )
70	65, 69	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
71	67, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
72	70, 71	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) )
73	30, 72	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) )
74	64, 73	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) )
75	60, 74	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ( m + 1 ) ... n ) ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) )
76	46, 47, 59, 75	sermono 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ) ` m ) <_ ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ) ` n ) )
77		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( M ... m ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
78	77, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( M ... m ) -> k e. Z )
79	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
80	30, 78, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... m ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
81	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
82	30, 78, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... m ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
83	30, 78, 56	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... m ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
84	46, 80, 82, 83	sersub 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ) ` m ) = ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) )
85	40, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
86	30, 49, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
87	30, 49, 81	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
88	30, 49, 56	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
89	85, 86, 87, 88	sersub 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) - ( G ` m ) ) ) ) ` n ) = ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) )
90	76, 84, 89	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) )
91	41, 42	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) e. RR )
92	36, 44, 91	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` m ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) <-> ( seq M ( + , F ) ` m ) <_ ( ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) + ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) )
93	90, 92	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) <_ ( ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) + ( seq M ( + , G ) ` m ) ) )
94	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC )
95	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
96	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` m ) e. CC )
97	94, 95, 96	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) = ( ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` n ) ) + ( seq M ( + , G ) ` m ) ) )
98	93, 97	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) )
99	36, 41, 45, 98	lesubd 10631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) )
100	41, 36	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) e. RR )
101		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
102	101	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> x e. RR )
103		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) e. RR /\ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) /\ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) < x ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) < x ) )
104	45, 100, 102, 103	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) <_ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) /\ ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) < x ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) < x ) )
105	99, 104	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) < x -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) < x ) )
106	30, 49, 11	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
107	60, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ( m + 1 ) ... n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
108		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 e. RR )
109	67, 23	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
110	67, 11	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
111		cvgcmp.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
112	108, 109, 110, 111, 65	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
113	30, 112	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
114	107, 113	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ( m + 1 ) ... n ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
115	46, 47, 106, 114	sermono 12833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` m ) <_ ( seq M ( + , F ) ` n ) )
116	36, 41, 115	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) )
117	116	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x <-> ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) < x ) )
118	30, 49, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
119	30, 111	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
120	64, 119	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
121	60, 120	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. ( ( m + 1 ) ... n ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
122	46, 47, 118, 121	sermono 12833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` m ) <_ ( seq M ( + , G ) ` n ) )
123	44, 42, 122	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) = ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) )
124	123	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x <-> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) < x ) )
125	105, 117, 124	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( m e. ( ZZ>= ` N ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
126	125	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
127	126	adantld 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
128	127	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
129	128	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
130	37	r19.29uz 14090	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` N ) ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
131	29, 129, 130	syl6an 568	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
132	131	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
133	1, 37	cau4 14096	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) ) )
134	4, 133	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) ) )
135	1, 37	cau4 14096	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
136	4, 135	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` N ) A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
137	132, 134, 136	3imtr4d 283	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , F ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , F ) ` n ) - ( seq M ( + , F ) ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
138	20, 137	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
139	1	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> n e. Z )
140		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x )
141	25	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x <-> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
142	140, 141	syl5ib 234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
143	139, 142	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
144	143	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
145	144	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
146	145	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
147	146	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) ) )
148	138, 147	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. m e. Z A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( seq M ( + , G ) ` n ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` m ) ) ) < x ) )
149	1, 3, 148	caurcvg2 14408	1 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  cvgcmpce  14550  rpnnen2lem5  14947  aaliou3lem3  24099