Theorem climxrrelem 39981

Description: If a seqence ranging over the extended reals converges w.r.t. the standard topology on the complex numbers, then there exists an upper set of the integers over which the function is real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
climxrrelem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
climxrrelem.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climxrrelem.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )
climxrrelem.c	|- ( ph -> F ~~> A )
climxrrelem.d	|- ( ph -> D e. RR+ )
climxrrelem.p	|- ( ( ph /\ +oo e. CC ) -> D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) )
climxrrelem.n	|- ( ( ph /\ -oo e. CC ) -> D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climxrrelem	|- ( ph -> E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR )

Distinct variable groups:   A, j   D, j   j, F   j, M   j, Z   ph, j

Proof of Theorem climxrrelem

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k j e. Z
3		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ k A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D )
4	2, 3	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
5	1, 4	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) )
6		climxrrelem.z	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7	6	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
8	7	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
9		climxrrelem.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
10	9	fdmd 39420	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom F = Z )
11	10	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> dom F = Z )
12	8, 11	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. dom F )
13	12	adantlrr 757	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. dom F )
14		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
15	8	adantlrr 757	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
16		rspa 2930	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
17	16	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
18	17	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
19	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR* )
20	19	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> ( F ` k ) e. RR* )
21		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ph )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( F ` k ) = -oo )
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( F ` k ) e. CC )
24	22, 23	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = -oo ) -> -oo e. CC )
25	24	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> -oo e. CC )
26		climxrrelem.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -oo e. CC ) -> D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) )
27	21, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) )
28	27	adantlrr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) = -oo -> ( ( F ` k ) - A ) = ( -oo - A ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = -oo -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( -oo - A ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( -oo - A ) ) )
32		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D )
33	31, 32	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( -oo - A ) ) < D )
34	33	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( -oo - A ) ) < D )
35	34	adantlrl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( -oo - A ) ) < D )
36		climxrrelem.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F ~~> A )
37	6	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z e. _V
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> Z e. _V )
39	9, 38	fexd 39296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F e. _V )
40		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
41	39, 40	clim 14225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
42	36, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
43	42	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. CC )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> A e. CC )
45	25, 44	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( -oo - A ) e. CC )
46	45	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( -oo - A ) ) e. RR )
47	46	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( abs ` ( -oo - A ) ) e. RR )
48		climxrrelem.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR+ )
49	48	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> D e. RR )
51	47, 50	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> ( ( abs ` ( -oo - A ) ) < D <-> -. D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) ) )
52	35, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = -oo ) -> -. D <_ ( abs ` ( -oo - A ) ) )
53	28, 52	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> -. ( F ` k ) = -oo )
54	53	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> -. ( F ` k ) = -oo )
55	54	neqned 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> ( F ` k ) =/= -oo )
56		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ph )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( F ` k ) = +oo )
58		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( F ` k ) e. CC )
59	57, 58	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` k ) = +oo ) -> +oo e. CC )
60	59	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> +oo e. CC )
61		climxrrelem.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ +oo e. CC ) -> D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) )
62	56, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) )
63	62	adantlrr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) = +oo -> ( ( F ` k ) - A ) = ( +oo - A ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` k ) = +oo -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( +oo - A ) ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( +oo - A ) ) )
67		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D )
68	66, 67	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( +oo - A ) ) < D )
69	68	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( +oo - A ) ) < D )
70	69	adantlrl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( +oo - A ) ) < D )
71	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> A e. CC )
72	60, 71	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( +oo - A ) e. CC )
73	72	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( F ` k ) e. CC ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( +oo - A ) ) e. RR )
74	73	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( abs ` ( +oo - A ) ) e. RR )
75	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> D e. RR )
76	74, 75	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> ( ( abs ` ( +oo - A ) ) < D <-> -. D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) ) )
77	70, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) /\ ( F ` k ) = +oo ) -> -. D <_ ( abs ` ( +oo - A ) ) )
78	63, 77	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> -. ( F ` k ) = +oo )
79	78	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> -. ( F ` k ) = +oo )
80	79	neqned 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> ( F ` k ) =/= +oo )
81	20, 55, 80	xrred 39581	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
82	14, 15, 18, 81	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
83	13, 82	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. RR ) )
84	5, 83	ralrimia 39315	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. RR ) )
85	9	ffund 6049	. . . . 5 |- ( ph -> Fun F )
86		ffvresb 6394	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. RR ) ) )
87	85, 86	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. RR ) ) )
88	87	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. RR ) ) )
89	84, 88	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR )
90		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = D -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
91	90	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( x = D -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) )
92	91	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = D -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) )
93	42	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
94	92, 93, 48	rspcdva 3316	. . 3 |- ( ph -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
95		climxrrelem.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
96	6	rexuz3 14088	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) )
97	95, 96	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) ) )
98	94, 97	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < D ) )
99	89, 98	reximddv 3018	1 |- ( ph -> E. j e. Z ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climxrre  39982