Theorem voliune 30292

Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This formulation on the extended reals, allows for +oo for the measure of any set in the sum. Cf. ovoliun 23273 and voliun 23322. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
voliune	|- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = Σ* n e. NN ( vol ` A ) )

Proof of Theorem voliune

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) <-> ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` A ) )
4	2, 3	voliun 23322	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
5	1, 4	sylanbr 490	. . . 4 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
6	5	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
7		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. NN A e. dom vol
8		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ n ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR )
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ n e. NN ) -> n e. NN )
11		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ n e. NN ) -> A e. dom vol )
12		volf 23297	. . . . . . . . . . . 12 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
13	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	3	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = ( vol ` A ) )
16	10, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = ( vol ` A ) )
17	16	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = ( vol ` A ) )
18	17	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> ( n e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = ( vol ` A ) ) )
19	9, 18	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = ( vol ` A ) )
20	9, 19	esumeq2d 30099	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> Σ* n e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = Σ* n e. NN ( vol ` A ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR )
22	21	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) e. RR )
23	14	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
24		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
25		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
26		elicc1 12219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol ` A ) /\ ( vol ` A ) <_ +oo ) ) )
27	24, 25, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol ` A ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol ` A ) /\ ( vol ` A ) <_ +oo ) )
28	27	simp2bi 1077	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( vol ` A ) )
29	23, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` A ) )
30		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol ` A ) e. RR -> ( vol ` A ) < +oo )
31	22, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) < +oo )
32		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
33		elico2 12237	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( vol ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( vol ` A ) /\ ( vol ` A ) < +oo ) ) )
34	32, 25, 33	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( vol ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( vol ` A ) /\ ( vol ` A ) < +oo ) )
35	22, 29, 31, 34	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,) +oo ) )
36	9, 35, 3	fmptdf 6387	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
37		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( vol ` A ) )
38	37	esumfsupre 30133	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> Σ* n e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
39	36, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> Σ* n e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ` n ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
40	20, 39	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> Σ* n e. NN ( vol ` A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
41	40	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> Σ* n e. NN ( vol ` A ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol ` A ) ) ) , RR* , < ) )
42	6, 41	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = Σ* n e. NN ( vol ` A ) )
43		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo )
44		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( vol ` A ) = +oo
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n vol
46		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n [_ k / n ]_ A
47	45, 46	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( vol ` [_ k / n ]_ A )
48	47	nfeq1 2778	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo
49		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> A = [_ k / n ]_ A )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( vol ` A ) = ( vol ` [_ k / n ]_ A ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( vol ` A ) = +oo <-> ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo ) )
52	44, 48, 51	cbvrex 3168	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo <-> E. k e. NN ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo )
53	43, 52	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> E. k e. NN ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo )
54	46	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n [_ k / n ]_ A e. dom vol
55	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( A e. dom vol <-> [_ k / n ]_ A e. dom vol ) )
56	54, 55	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( A. n e. NN A e. dom vol -> [_ k / n ]_ A e. dom vol ) )
57	56	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> [_ k / n ]_ A e. dom vol )
58		iunmbl 23321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A e. dom vol )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> U_ n e. NN A e. dom vol )
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n NN
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n k
62	60, 61, 46, 49	ssiun2sf 29378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> [_ k / n ]_ A C_ U_ n e. NN A )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> [_ k / n ]_ A C_ U_ n e. NN A )
64		volss 23301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [_ k / n ]_ A e. dom vol /\ U_ n e. NN A e. dom vol /\ [_ k / n ]_ A C_ U_ n e. NN A ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
65	57, 59, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ k e. NN ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
67	66	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) /\ k e. NN ) -> ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> A. k e. NN ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
69		r19.29r 3073	. . . . . . 7 |- ( ( E. k e. NN ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo /\ A. k e. NN ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) -> E. k e. NN ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) )
70	53, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> E. k e. NN ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) )
71		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo -> ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) <-> +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) )
72	71	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
73	72	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. k e. NN ( ( vol ` [_ k / n ]_ A ) = +oo /\ ( vol ` [_ k / n ]_ A ) <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) -> E. k e. NN +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
74	70, 73	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> E. k e. NN +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
75		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
76		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
77		r19.9rzv 4065	. . . . . 6 |- ( NN =/= (/) -> ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) <-> E. k e. NN +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) ) )
78	75, 76, 77	mp2b 10	. . . . 5 |- ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) <-> E. k e. NN +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
79	74, 78	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) )
80		iccssxr 12256	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
81	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( U_ n e. NN A e. dom vol -> ( vol ` U_ n e. NN A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
82	80, 81	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( U_ n e. NN A e. dom vol -> ( vol ` U_ n e. NN A ) e. RR* )
83	58, 82	syl 17	. . . . . 6 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> ( vol ` U_ n e. NN A ) e. RR* )
84	83	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) e. RR* )
85		xgepnf 11996	. . . . 5 |- ( ( vol ` U_ n e. NN A ) e. RR* -> ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) <-> ( vol ` U_ n e. NN A ) = +oo ) )
86	84, 85	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> ( +oo <_ ( vol ` U_ n e. NN A ) <-> ( vol ` U_ n e. NN A ) = +oo ) )
87	79, 86	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = +oo )
88		nfdisj1 4633	. . . . . 6 |- F/ nDisj n e. NN A
89	7, 88	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ n ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A )
90		nfre1 3005	. . . . 5 |- F/ n E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo
91	89, 90	nfan 1828	. . . 4 |- F/ n ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo )
92		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
93	92	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> NN e. _V )
94	14	3ad2antr3 1228	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ (Disj n e. NN A /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo /\ n e. NN ) ) -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
95	94	3anassrs 1290	. . . 4 |- ( ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	91, 93, 95, 43	esumpinfval 30135	. . 3 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> Σ* n e. NN ( vol ` A ) = +oo )
97	87, 96	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) /\ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = Σ* n e. NN ( vol ` A ) )
98		exmid 431	. . . . 5 |- ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ -. A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR )
99		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR <-> -. A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR )
100	99	orbi2i 541	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR ) <-> ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ -. A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR ) )
101	98, 100	mpbir 221	. . . 4 |- ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR )
102		r19.29 3072	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR ) -> E. n e. NN ( A e. dom vol /\ -. ( vol ` A ) e. RR ) )
103		xrge0nre 12277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. ( vol ` A ) e. RR ) -> ( vol ` A ) = +oo )
104	13, 103	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ -. ( vol ` A ) e. RR ) -> ( vol ` A ) = +oo )
105	104	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN ( A e. dom vol /\ -. ( vol ` A ) e. RR ) -> E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo )
106	102, 105	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR ) -> E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo )
107	106	ex 450	. . . . 5 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> ( E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR -> E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) )
108	107	orim2d 885	. . . 4 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> ( ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN -. ( vol ` A ) e. RR ) -> ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) ) )
109	101, 108	mpi 20	. . 3 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) )
110	109	adantr 481	. 2 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) -> ( A. n e. NN ( vol ` A ) e. RR \/ E. n e. NN ( vol ` A ) = +oo ) )
111	42, 97, 110	mpjaodan 827	1 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ Disj n e. NN A ) -> ( vol ` U_ n e. NN A ) = Σ* n e. NN ( vol ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   volcvol 23232  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  volmeas  30294