Theorem cshimadifsn0 13576

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its upper bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn0	|- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )

Proof of Theorem cshimadifsn0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshimadifsn 13575	. 2 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift J ) " ( 1..^ N ) ) )
2		elfzoel2 12469	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
3		elfzom1elp1fzo1 12568	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) )
4	3	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) ) )
6	5	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) ) )
7	6	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) )
8		elfzo1elm1fzo0 12569	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1..^ N ) -> ( x - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. ( 1..^ N ) ) -> ( x - 1 ) e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( y + 1 ) = ( ( x - 1 ) + 1 ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = ( x - 1 ) -> ( x = ( y + 1 ) <-> x = ( ( x - 1 ) + 1 ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. ( 1..^ N ) ) /\ y = ( x - 1 ) ) -> ( x = ( y + 1 ) <-> x = ( ( x - 1 ) + 1 ) ) )
13		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1..^ N ) -> x e. ZZ )
14	13	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1..^ N ) -> x e. CC )
15		npcan1 10455	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( ( x - 1 ) + 1 ) = x )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1..^ N ) -> ( ( x - 1 ) + 1 ) = x )
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1..^ N ) -> x = ( ( x - 1 ) + 1 ) )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. ( 1..^ N ) ) -> x = ( ( x - 1 ) + 1 ) )
19	9, 12, 18	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. ( 1..^ N ) ) -> E. y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) x = ( y + 1 ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( F cyclShift J ) ` x ) = ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) )
21	20	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) /\ x = ( y + 1 ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` x ) = ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) )
22		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> y e. ZZ )
23	22	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> y e. CC )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> y e. CC )
25		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
26	25	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
27	26	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> J e. CC )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> J e. CC )
29		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
30		add32r 10255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ J e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( y + ( J + 1 ) ) = ( ( y + 1 ) + J ) )
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + ( J + 1 ) ) = ( ( y + 1 ) + J ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( y + ( J + 1 ) ) mod ( # ` F ) ) = ( ( ( y + 1 ) + J ) mod ( # ` F ) ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( ( y + ( J + 1 ) ) mod ( # ` F ) ) ) = ( F ` ( ( ( y + 1 ) + J ) mod ( # ` F ) ) ) )
34		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> F e. Word S )
35	25	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ZZ )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( J + 1 ) e. ZZ )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( J + 1 ) e. ZZ )
38		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
39	2, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
40	39	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> y e. ( 0..^ N ) ) )
41	40	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> y e. ( 0..^ N ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> y e. ( 0..^ N ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = ( # ` F ) -> ( 0..^ N ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = ( # ` F ) -> ( y e. ( 0..^ N ) <-> y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
45	44	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( y e. ( 0..^ N ) <-> y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y e. ( 0..^ N ) <-> y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
47	42, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. Word S /\ ( J + 1 ) e. ZZ /\ y e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = ( F ` ( ( y + ( J + 1 ) ) mod ( # ` F ) ) ) )
49	34, 37, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = ( F ` ( ( y + ( J + 1 ) ) mod ( # ` F ) ) ) )
50	25	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> J e. ZZ )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> J e. ZZ )
52		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ N )
53	2	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> N e. ZZ )
54	53, 3	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1..^ N ) )
55	52, 54	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
56	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = ( # ` F ) -> ( ( y + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( y + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( y + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( y + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( y + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( y + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
60		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. Word S /\ J e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( ( ( y + 1 ) + J ) mod ( # ` F ) ) ) )
61	34, 51, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) = ( F ` ( ( ( y + 1 ) + J ) mod ( # ` F ) ) ) )
62	33, 49, 61	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) )
63	62	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) /\ x = ( y + 1 ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) )
64	21, 63	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) /\ x = ( y + 1 ) ) -> ( ( F cyclShift J ) ` x ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) )
65	64	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) /\ x = ( y + 1 ) ) -> ( ( ( F cyclShift J ) ` x ) = z <-> ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = z ) )
66	7, 19, 65	rexxfrd2 4885	. . . 4 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( E. x e. ( 1..^ N ) ( ( F cyclShift J ) ` x ) = z <-> E. y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = z ) )
67	66	abbidv 2741	. . 3 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> { z | E. x e. ( 1..^ N ) ( ( F cyclShift J ) ` x ) = z } = { z | E. y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = z } )
68	25	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word S /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F e. Word S /\ J e. ZZ ) )
69	68	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F e. Word S /\ J e. ZZ ) )
70		cshwfn 13547	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word S /\ J e. ZZ ) -> ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) )
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) )
72		fnfun 5988	. . . . . . 7 |- ( ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) -> Fun ( F cyclShift J ) )
73	72	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> Fun ( F cyclShift J ) )
74	43	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0..^ N ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
75	52, 74	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 1..^ N ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
77		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) -> dom ( F cyclShift J ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
78	77	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> dom ( F cyclShift J ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
79	76, 78	sseqtr4d 3642	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 1..^ N ) C_ dom ( F cyclShift J ) )
80	73, 79	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift J ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( Fun ( F cyclShift J ) /\ ( 1..^ N ) C_ dom ( F cyclShift J ) ) )
81	71, 80	mpdan 702	. . . 4 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( Fun ( F cyclShift J ) /\ ( 1..^ N ) C_ dom ( F cyclShift J ) ) )
82		dfimafn 6245	. . . 4 |- ( ( Fun ( F cyclShift J ) /\ ( 1..^ N ) C_ dom ( F cyclShift J ) ) -> ( ( F cyclShift J ) " ( 1..^ N ) ) = { z | E. x e. ( 1..^ N ) ( ( F cyclShift J ) ` x ) = z } )
83	81, 82	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F cyclShift J ) " ( 1..^ N ) ) = { z | E. x e. ( 1..^ N ) ( ( F cyclShift J ) ` x ) = z } )
84	35	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Word S /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F e. Word S /\ ( J + 1 ) e. ZZ ) )
85	84	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F e. Word S /\ ( J + 1 ) e. ZZ ) )
86		cshwfn 13547	. . . . . 6 |- ( ( F e. Word S /\ ( J + 1 ) e. ZZ ) -> ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) )
88		fnfun 5988	. . . . . . 7 |- ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) -> Fun ( F cyclShift ( J + 1 ) ) )
89	88	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> Fun ( F cyclShift ( J + 1 ) ) )
90	39	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` F ) = N -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) )
92	91	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( N = ( # ` F ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) )
93	92	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) )
94	90, 93	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ ( # ` F ) ) )
96		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) -> dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
97	96	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
98	95, 97	sseqtr4d 3642	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) )
99	89, 98	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) /\ ( F cyclShift ( J + 1 ) ) Fn ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( Fun ( F cyclShift ( J + 1 ) ) /\ ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ) )
100	87, 99	mpdan 702	. . . 4 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( Fun ( F cyclShift ( J + 1 ) ) /\ ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ) )
101		dfimafn 6245	. . . 4 |- ( ( Fun ( F cyclShift ( J + 1 ) ) /\ ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ dom ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ) -> ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) = { z | E. y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = z } )
102	100, 101	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) = { z | E. y e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) ` y ) = z } )
103	67, 83, 102	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F cyclShift J ) " ( 1..^ N ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
104	1, 103	eqtrd 2656	1 |- ( ( F e. Word S /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  27105