Theorem eucrct2eupth 27105

Description: Removing one edge ( I ` ( F ` J ) ) from a graph G with an Eulerian circuit <. F , P >. results in a graph S with an Eulerian path <. H , Q >.. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrct2eupth1.v	|- V = (Vtx ` G )
eucrct2eupth1.i	|- I = (iEdg ` G )
eucrct2eupth1.d	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eucrct2eupth1.c	|- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
eucrct2eupth1.s	|- (Vtx ` S ) = V
eucrct2eupth.n	|- ( ph -> N = ( # ` F ) )
eucrct2eupth.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
eucrct2eupth.e	|- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) )
eucrct2eupth.k	|- K = ( J + 1 )
eucrct2eupth.h	|- H = ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
eucrct2eupth.q	|- Q = ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eucrct2eupth	|- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, J   x, K   x, N   x, P   x, V   ph, x

Allowed substitution hints:   Q( x)   S( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem eucrct2eupth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrct2eupth1.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		eucrct2eupth1.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
3		eucrct2eupth1.d	. . . . . 6 |- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
5		eucrct2eupth.k	. . . . . . . 8 |- K = ( J + 1 )
6	5	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( J + 1 ) = K
7	6	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( F cyclShift ( J + 1 ) ) = ( F cyclShift K )
8		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( J = ( N - 1 ) -> ( J + 1 ) = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
9		eucrct2eupth.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
10		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
11		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. CC )
12	11	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. CC )
13	10, 12	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. CC )
14		npcan1 10455	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
15	9, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
16	8, 15	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( J + 1 ) = N )
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift ( J + 1 ) ) = ( F cyclShift N ) )
18		eucrct2eupth.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N = ( # ` F ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F cyclShift N ) = ( F cyclShift ( # ` F ) ) )
20		eucrct2eupth1.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
21		crctiswlk 26691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F (Circuits ` G ) P -> F (Walks ` G ) P )
22	2	wlkf 26510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F (Walks ` G ) P -> F e. Word dom I )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( F (Circuits ` G ) P -> F e. Word dom I )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. Word dom I )
25		cshwn 13543	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. Word dom I -> ( F cyclShift ( # ` F ) ) = F )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F cyclShift ( # ` F ) ) = F )
27	19, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F cyclShift N ) = F )
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift N ) = F )
29	17, 28	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift ( J + 1 ) ) = F )
30	7, 29	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift K ) = F )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` F ) = ( # ` F )
32	1, 2, 20, 31	crctcshlem1 26709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( # ` F ) e. NN0 )
33		fz0sn0fz1 12456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( { 0 } u. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) )
35	34	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> x e. ( { 0 } u. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) )
36		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( { 0 } u. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) <-> ( x e. { 0 } \/ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) )
37	35, 36	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> ( x e. { 0 } \/ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) ) )
38		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
39		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ 0
40	38, 39	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { 0 } -> x <_ 0 )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. { 0 } ) -> x <_ 0 )
42	41	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { 0 } ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` ( x + N ) ) )
43	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` ( # ` F ) ) )
44		crctprop 26687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F (Circuits ` G ) P -> ( F (Trails ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) )
45		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F (Trails ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F (Trails ` G ) P /\ ( P ` 0 ) = ( P ` ( # ` F ) ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) = ( P ` 0 ) )
47	20, 44, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P ` ( # ` F ) ) = ( P ` 0 ) )
48	43, 47	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( x + N ) = ( 0 + N ) )
51	9, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. CC )
52	51	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 + N ) = N )
53	50, 52	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( x + N ) = N )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( P ` ( x + N ) ) = ( P ` N ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 0 -> ( P ` x ) = ( P ` 0 ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( P ` x ) = ( P ` 0 ) )
57	49, 54, 56	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( P ` ( x + N ) ) = ( P ` x ) )
58	38, 57	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { 0 } ) -> ( P ` ( x + N ) ) = ( P ` x ) )
59	42, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. { 0 } ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) )
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. { 0 } -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) ) )
61		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> x e. NN )
62		nnnle0 11051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN -> -. x <_ 0 )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> -. x <_ 0 )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> -. x <_ 0 )
65	64	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) )
66	61	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> x e. CC )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> x e. CC )
68	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> N e. CC )
69	67, 68	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( ( x + N ) - N ) = x )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) = ( P ` x ) )
71	65, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) )
72	71	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) ) )
73	60, 72	jaod 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. { 0 } \/ x e. ( 1 ... ( # ` F ) ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) ) )
74	37, 73	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) ) -> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) = ( P ` x ) )
76	75	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) ) = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> ( P ` x ) ) )
77	76	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) ) = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> ( P ` x ) ) )
78	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( N - K ) = ( N - ( J + 1 ) )
79	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( N - 1 ) -> ( N - ( J + 1 ) ) = ( N - ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
80	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( N - N ) )
81	51	subidd 10380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - N ) = 0 )
82	80, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = 0 )
83	79, 82	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( N - ( J + 1 ) ) = 0 )
84	78, 83	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( N - K ) = 0 )
85	84	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x <_ ( N - K ) <-> x <_ 0 ) )
86	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( x + K ) = ( x + ( J + 1 ) )
87	86	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( x + K ) ) = ( P ` ( x + ( J + 1 ) ) )
88	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( N - 1 ) -> ( x + ( J + 1 ) ) = ( x + ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
89	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x + ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( x + N ) )
90	88, 89	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x + ( J + 1 ) ) = ( x + N ) )
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( P ` ( x + ( J + 1 ) ) ) = ( P ` ( x + N ) ) )
92	87, 91	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( P ` ( x + K ) ) = ( P ` ( x + N ) ) )
93	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x + K ) - N ) = ( ( x + ( J + 1 ) ) - N )
94	93	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) = ( P ` ( ( x + ( J + 1 ) ) - N ) )
95	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( J = ( N - 1 ) -> ( ( x + ( J + 1 ) ) - N ) = ( ( x + ( ( N - 1 ) + 1 ) ) - N ) )
96	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x + ( ( N - 1 ) + 1 ) ) - N ) = ( ( x + N ) - N ) )
97	95, 96	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( x + ( J + 1 ) ) - N ) = ( ( x + N ) - N ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( P ` ( ( x + ( J + 1 ) ) - N ) ) = ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) )
99	94, 98	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) = ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) )
100	85, 92, 99	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) = if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) )
101	100	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ 0 , ( P ` ( x + N ) ) , ( P ` ( ( x + N ) - N ) ) ) ) )
102	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F (Walks ` G ) P )
103	1	wlkp 26512	. . . . . . . . 9 |- ( F (Walks ` G ) P -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
104		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> P Fn ( 0 ... ( # ` F ) ) )
105	102, 103, 104	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P Fn ( 0 ... ( # ` F ) ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> P Fn ( 0 ... ( # ` F ) ) )
107		dffn5 6241	. . . . . . 7 |- ( P Fn ( 0 ... ( # ` F ) ) <-> P = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> ( P ` x ) ) )
108	106, 107	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> P = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> ( P ` x ) ) )
109	77, 101, 108	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) = P )
110	4, 30, 109	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
111	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> F (Circuits ` G ) P )
112	111, 30, 109	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
113		eucrct2eupth1.s	. . . 4 |- (Vtx ` S ) = V
114		elfzolt3 12480	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> 0 < N )
115	9, 114	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < N )
116		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
117	9, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. ZZ )
118	117	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ZZ )
119	5, 118	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
120		cshwlen 13545	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. Word dom I /\ K e. ZZ ) -> ( # ` ( F cyclShift K ) ) = ( # ` F ) )
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word dom I /\ K e. ZZ ) -> ( # ` F ) = ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
122	24, 119, 121	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` F ) = ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
123	18, 122	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> N = ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
124	115, 123	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
125	124	adantl 482	. . . 4 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> 0 < ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
126	123	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> N = ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( N - 1 ) = ( ( # ` ( F cyclShift K ) ) - 1 ) )
128		eucrct2eupth.e	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) )
129	128	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) )
130	24, 18, 9	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F e. Word dom I /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F e. Word dom I /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) )
132		cshimadifsn0 13576	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. Word dom I /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
134	7	imaeq1i 5463	. . . . . . 7 |- ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
135	133, 134	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
136	135	reseq2d 5396	. . . . 5 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) = ( I |` ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) ) )
137	129, 136	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) ) )
138		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
139		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
140	1, 2, 110, 112, 113, 125, 127, 137, 138, 139	eucrct2eupth1 27104	. . 3 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) (EulerPaths ` S ) ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
141		eucrct2eupth.h	. . . 4 |- H = ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
142	141	a1i 11	. . 3 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> H = ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
143		eucrct2eupth.q	. . . . 5 |- Q = ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) )
144		fzossfz 12488	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
145	18	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
146	144, 145	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... ( # ` F ) ) )
147	146	resmptd 5452	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0..^ N ) ) = ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
148		elfzoel2 12469	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
149		fzoval 12471	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
150	9, 148, 149	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ N ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
151	150	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0..^ N ) ) = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
152	147, 151	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
153	143, 152	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> Q = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
154	153	adantl 482	. . 3 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> Q = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
155	140, 142, 154	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> H (EulerPaths ` S ) Q )
156	20	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> F (Circuits ` G ) P )
157		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. NN0 -> ( J + 1 ) e. NN0 )
158	157	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J + 1 ) e. NN0 )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ -. J = ( N - 1 ) ) -> ( J + 1 ) e. NN0 )
160		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ -. J = ( N - 1 ) ) -> N e. NN )
161		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> 1 e. CC )
162		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. NN0 -> J e. CC )
163	162	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. CC )
164	12, 161, 163	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( ( N - 1 ) = J <-> ( J + 1 ) = N ) )
165		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J = ( N - 1 ) <-> ( N - 1 ) = J )
166		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = ( J + 1 ) <-> ( J + 1 ) = N )
167	164, 165, 166	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J = ( N - 1 ) <-> N = ( J + 1 ) ) )
168	167	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( -. J = ( N - 1 ) <-> N =/= ( J + 1 ) ) )
169	157	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J e. NN0 -> ( J + 1 ) e. RR )
170	169	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J + 1 ) e. RR )
171		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. RR )
172	171	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR )
173		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. NN0 -> J e. ZZ )
174		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
175		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( J < N <-> ( J + 1 ) <_ N ) )
176	173, 174, 175	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J < N <-> ( J + 1 ) <_ N ) )
177	176	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( J + 1 ) <_ N )
178	170, 172, 177	leltned 10190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( ( J + 1 ) < N <-> N =/= ( J + 1 ) ) )
179	178	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( N =/= ( J + 1 ) -> ( J + 1 ) < N ) )
180	168, 179	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( -. J = ( N - 1 ) -> ( J + 1 ) < N ) )
181	180	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ -. J = ( N - 1 ) ) -> ( J + 1 ) < N )
182	159, 160, 181	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ -. J = ( N - 1 ) ) -> ( ( J + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( J + 1 ) < N ) )
183	182	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( -. J = ( N - 1 ) -> ( ( J + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( J + 1 ) < N ) ) )
184	10, 183	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( -. J = ( N - 1 ) -> ( ( J + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( J + 1 ) < N ) ) )
185		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 |- ( ( J + 1 ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( J + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( J + 1 ) < N ) )
186	184, 185	syl6ibr 242	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( -. J = ( N - 1 ) -> ( J + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
187	9, 186	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. J = ( N - 1 ) -> ( J + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
188	187	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( J + 1 ) e. ( 0..^ N ) )
189	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> K = ( J + 1 ) )
190	18	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` F ) = N )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) )
192	191	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ N ) )
193	188, 189, 192	3eltr4d 2716	. . . 4 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> K e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
194		eqid 2622	. . . 4 |- ( F cyclShift K ) = ( F cyclShift K )
195		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) )
196	3	adantl 482	. . . 4 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> F (EulerPaths ` G ) P )
197	1, 2, 156, 31, 193, 194, 195, 196	eucrctshift 27103	. . 3 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) )
198		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) )
199		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) )
200	124	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> 0 < ( # ` ( F cyclShift K ) ) )
201	123	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) = ( ( # ` ( F cyclShift K ) ) - 1 ) )
202	201	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> ( N - 1 ) = ( ( # ` ( F cyclShift K ) ) - 1 ) )
203	128	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) )
204	130	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F e. Word dom I /\ N = ( # ` F ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) )
205	204, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift ( J + 1 ) ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
206	205, 134	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) = ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
207	206	reseq2d 5396	. . . . . . 7 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( I |` ( F " ( ( 0..^ N ) \ { J } ) ) ) = ( I |` ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) ) )
208	203, 207	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) ) )
209	208	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> (iEdg ` S ) = ( I |` ( ( F cyclShift K ) " ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) ) )
210		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
211	1, 2, 198, 199, 113, 200, 202, 209, 138, 210	eucrct2eupth1 27104	. . . 4 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) (EulerPaths ` S ) ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
212	141	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> H = ( ( F cyclShift K ) |` ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
213	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` F ) - K ) = ( N - K ) )
214	213	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) <-> x <_ ( N - K ) ) )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) <-> x <_ ( N - K ) ) )
216	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) = ( ( x + K ) - N ) )
217	216	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) = ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) )
218	217	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) = ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) )
219	215, 218	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) = if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) )
220	219	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) = ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
221	150	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) = ( 0..^ N ) )
222	221	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) = ( 0..^ N ) )
223	220, 222	reseq12d 5397	. . . . . . 7 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0..^ N ) ) )
224	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> N = ( # ` F ) )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( 0 ... N ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
226	144, 225	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... ( # ` F ) ) )
227	226	resmptd 5452	. . . . . . 7 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) |` ( 0..^ N ) ) = ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
228	223, 227	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) = ( x e. ( 0..^ N ) |-> if ( x <_ ( N - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - N ) ) ) ) )
229	228, 143	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> Q = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
230	229	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> Q = ( ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) |` ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) )
231	211, 212, 230	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) /\ ( ( F cyclShift K ) (EulerPaths ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) /\ ( F cyclShift K ) (Circuits ` G ) ( x e. ( 0 ... ( # ` F ) ) |-> if ( x <_ ( ( # ` F ) - K ) , ( P ` ( x + K ) ) , ( P ` ( ( x + K ) - ( # ` F ) ) ) ) ) ) ) -> H (EulerPaths ` S ) Q )
232	197, 231	mpdan 702	. 2 |- ( ( -. J = ( N - 1 ) /\ ph ) -> H (EulerPaths ` S ) Q )
233	155, 232	pm2.61ian 831	1 |- ( ph -> H (EulerPaths ` S ) Q )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Trailsctrls 26587  Circuitsccrcts 26679  EulerPathsceupth 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-crcts 26681  df-eupth 27058

This theorem is referenced by: (None)