Theorem cvgcmpce 14550

Description: A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmpce.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
cvgcmpce.2	|- ( ph -> N e. Z )
cvgcmpce.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
cvgcmpce.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
cvgcmpce.5	|- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
cvgcmpce.6	|- ( ph -> C e. RR )
cvgcmpce.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) <_ ( C x. ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmpce	|- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k   k, F   k, G   k, N   k, Z   k, M   ph, k

Proof of Theorem cvgcmpce

Dummy variables m j n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgcmpce.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		cvgcmpce.2	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Z )
3	2, 1	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluzel2 11692	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		cvgcmpce.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) e. CC )
7	1, 5, 6	serf 12829	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) : Z --> CC )
8	7	ffvelrnda 6359	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( C x. ( F ` m ) ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) = ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) )
12		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( C x. ( F ` k ) ) e. _V
13	10, 11, 12	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> ( ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
15		cvgcmpce.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. RR )
17		cvgcmpce.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( C x. ( F ` k ) ) e. RR )
19	14, 18	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ` k ) e. RR )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> ( abs ` ( G ` m ) ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) = ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) )
23		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( G ` k ) ) e. _V
24	21, 22, 23	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
26	6	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. RR )
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) e. RR )
28	15	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
29		cvgcmpce.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
30		climdm 14285	. . . . . . . 8 |- ( seq M ( + , F ) e. dom ~~> <-> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
31	29, 30	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )
32	17	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
33	1, 5, 28, 31, 32, 14	isermulc2 14388	. . . . . 6 |- ( ph -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ) ~~> ( C x. ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) ) )
34		climrel 14223	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
35	34	releldmi 5362	. . . . . 6 |- ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ) ~~> ( C x. ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) ) -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ) e. dom ~~> )
36	33, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ) e. dom ~~> )
37	1	uztrn2 11705	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
38	2, 37	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> k e. Z )
39	6	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( abs ` ( G ` k ) ) )
40	39, 25	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) )
41	38, 40	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) )
42		cvgcmpce.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) <_ ( C x. ( F ` k ) ) )
43	38, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
44	38, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ` k ) = ( C x. ( F ` k ) ) )
45	42, 43, 44	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) <_ ( ( m e. Z |-> ( C x. ( F ` m ) ) ) ` k ) )
46	1, 2, 19, 27, 36, 41, 45	cvgcmp 14548	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) e. dom ~~> )
47	1	climcau 14401	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) e. dom ~~> ) -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x )
48	5, 46, 47	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x )
49	1, 5, 27	serfre 12830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) : Z --> RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) : Z --> RR )
51	1	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> n e. Z )
53	50, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) e. RR )
54		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. Z )
55	50, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) e. RR )
56	53, 55	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) e. RR )
57		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 e. RR )
58	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq M ( + , G ) : Z --> CC )
59	58, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` n ) e. CC )
60	58, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq M ( + , G ) ` j ) e. CC )
61	59, 60	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) e. CC )
62	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) e. RR )
63	61	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) )
64		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( M ... n ) e. Fin )
65		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) C_ ( M ... n )
66		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M ... n ) e. Fin /\ ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) C_ ( M ... n ) ) -> ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) e. Fin )
67	64, 65, 66	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) e. Fin )
68		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) -> k e. ( M ... n ) )
69		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ph )
70		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
71	70, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
72	69, 71, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
73	68, 72	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
74	67, 73	fsumabs 14533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) )
75		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
76	52, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
77	75, 76, 72	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) = ( seq M ( + , G ) ` n ) )
78		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
79	54, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
80		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
81	80, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. Z )
82	69, 81, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
83	78, 79, 82	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) = ( seq M ( + , G ) ` j ) )
84	77, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) ) = ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) )
85		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M ... j ) i^i ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) = (/)
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( M ... j ) i^i ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) = (/) )
87		undif2 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M ... j ) u. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) = ( ( M ... j ) u. ( M ... n ) )
88		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ZZ>= ` j ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... n ) )
89	88	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( M ... j ) C_ ( M ... n ) )
90		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... n ) <-> ( ( M ... j ) u. ( M ... n ) ) = ( M ... n ) )
91	89, 90	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( M ... j ) u. ( M ... n ) ) = ( M ... n ) )
92	87, 91	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( M ... n ) = ( ( M ... j ) u. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) )
93	86, 92, 64, 72	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) ) )
94	93	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) )
95	64, 72	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) e. CC )
96		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
97	96, 82	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) e. CC )
98	67, 73	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) e. CC )
99	95, 97, 98	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) ) )
100	94, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... n ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) )
101	84, 100	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( G ` k ) ) )
103	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. Z )
104	103, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
105		abscl 14018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` k ) e. CC -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. RR )
106	105	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` k ) e. CC -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
107	72, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
108	104, 76, 107	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) = ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) )
109	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> k e. Z )
110	109, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> ( ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ` k ) = ( abs ` ( G ` k ) ) )
111	82, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
112	110, 79, 111	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) = ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) )
113	108, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) = ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) )
114	86, 92, 64, 107	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) )
115	114	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) = sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) )
116	64, 107	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
117	96, 111	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
118	73, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ) -> ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
119	67, 118	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) e. CC )
120	116, 117, 119	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) <-> ( sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) + sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) = sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) )
121	115, 120	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... n ) ( abs ` ( G ` k ) ) - sum_ k e. ( M ... j ) ( abs ` ( G ` k ) ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) )
122	113, 121	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) = sum_ k e. ( ( M ... n ) \ ( M ... j ) ) ( abs ` ( G ` k ) ) )
123	74, 102, 122	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) <_ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) )
124	57, 62, 56, 63, 123	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> 0 <_ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) )
125	56, 124	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) = ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) )
126	125	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x <-> ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) < x ) )
127		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
128	127	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> x e. RR )
129		lelttr 10128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) e. RR /\ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) <_ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) /\ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
130	62, 56, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) <_ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) /\ ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) < x ) -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
131	123, 130	mpand 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
132	126, 131	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
133	132	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x -> ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
134	133	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
135	134	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
136	135	ralimdva 2962	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` n ) - ( seq M ( + , ( m e. Z |-> ( abs ` ( G ` m ) ) ) ) ` j ) ) ) < x -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x ) )
137	48, 136	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq M ( + , G ) ` n ) - ( seq M ( + , G ) ` j ) ) ) < x )
138		seqex 12803	. . 3 |- seq M ( + , G ) e. _V
139	138	a1i 11	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. _V )
140	1, 8, 137, 139	caucvg 14409	1 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  abscvgcvg  14551  geomulcvg  14607  cvgrat  14615  radcnvlem1  24167  radcnvlem2  24168  dvradcnv  24175  abelthlem5  24189  abelthlem7  24192  logtayllem  24405  binomcxplemnn0  38548