Theorem dmatid 20301

Description: The identity matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	|- A = ( N Mat R )
dmatid.b	|- B = ( Base ` A )
dmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d	|- D = ( N DMat R )

Assertion

Ref	Expression
dmatid	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. D )

Proof of Theorem dmatid

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2	1	matring 20249	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
3		dmatid.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
5	3, 4	ringidcl 18568	. . 3 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
6	2, 5	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. B )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
8		dmatid.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
9		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> N e. Fin )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N e. Fin )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring )
13		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
15		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> j e. N )
17	1, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 4	mat1ov 20254	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( 1r ` A ) j ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , .0. ) )
18		ifnefalse 4098	. . . . 5 |- ( i =/= j -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , .0. ) = .0. )
19	17, 18	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ i =/= j ) -> ( i ( 1r ` A ) j ) = .0. )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i =/= j -> ( i ( 1r ` A ) j ) = .0. ) )
21	20	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( 1r ` A ) j ) = .0. ) )
22		dmatid.d	. . 3 |- D = ( N DMat R )
23	1, 3, 8, 22	dmatel 20299	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( 1r ` A ) e. D <-> ( ( 1r ` A ) e. B /\ A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i ( 1r ` A ) j ) = .0. ) ) ) )
24	6, 21, 23	mpbir2and 957	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-dmat 20296

This theorem is referenced by:  dmatsgrp  20305  dmatsrng  20307  scmatscmiddistr  20314