Theorem etransclem25 40476

Description: P factorial divides the N-th derivative of F applied to J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem25.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem25.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem25.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
etransclem25.c	|- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
etransclem25.sumc	|- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) = N )
etransclem25.t	|- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
etransclem25.j	|- ( ph -> J e. ( 1 ... M ) )

Assertion

Ref	Expression
etransclem25	|- ( ph -> ( ! ` P ) || T )

Distinct variable groups:   C, j   j, J   j, M   P, j   ph, j

Allowed substitution hints:   T( j)   N( j)

Proof of Theorem etransclem25

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem25.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
2	1	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
3	2	faccld 13071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` P ) e. NN )
4	3	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` P ) e. ZZ )
5		etransclem25.sumc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) = N )
6	5	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` N ) = ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) ) )
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) = ( ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) )
9		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j C
10		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
11		etransclem25.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
12		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
13		fzssnn0 39533	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... N ) C_ NN0
14		mapss 7900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN0 e. _V /\ ( 0 ... N ) C_ NN0 ) -> ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) C_ ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
15	12, 13, 14	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) C_ ( NN0 ^m ( 0 ... M ) )
16		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... N ) e. _V
17		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) -> ( 0 ... M ) e. _V )
18		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 ... N ) e. _V /\ ( 0 ... M ) e. _V ) -> ( C e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) <-> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
19	16, 17, 18	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) -> ( C e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) <-> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) )
20	19	ibir 257	. . . . . . . . . 10 |- ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) -> C e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
21	15, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) -> C e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
23	9, 10, 22	mccl 39830	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( C ` j ) ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) e. NN )
24	8, 23	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) e. NN )
25	24	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) e. ZZ )
26		etransclem25.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
27		etransclem25.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( 1 ... M ) )
28	27	elfzelzd 39530	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
29	1, 26, 11, 28	etransclem10 40461	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) e. ZZ )
30	25, 29	zmulcld 11488	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
31		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
32	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> P e. NN )
33	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
34		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
35		fzp1ss 12392	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... M ) C_ ( 0 ... M ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) ... M ) C_ ( 0 ... M )
37		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. ( 1 ... M ) )
38		1e0p1 11552	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
39	38	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... M ) = ( ( 0 + 1 ) ... M )
40	37, 39	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) )
41	36, 40	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
43	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> J e. ZZ )
44	32, 33, 42, 43	etransclem3 40454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
45	31, 44	fprodzcl 14684	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
46	4, 30, 45	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` P ) e. ZZ /\ ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) e. ZZ /\ prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
47	28	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. CC )
48	47	subidd 10380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J - J ) = 0 )
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 = ( J - J ) )
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) = ( ( J - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( J - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
52	51	ifeq2d 4105	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( J - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
53		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 1 ... M ) -> J e. ( 1 ... M ) )
54	53, 39	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... M ) -> J e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) )
55	36, 54	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... M ) -> J e. ( 0 ... M ) )
56	27, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
57	1, 11, 56, 28	etransclem3 40454	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( J - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
58	52, 57	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ )
59		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... M ) e. Fin
60		diffi 8192	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... M ) e. Fin -> ( ( 1 ... M ) \ { J } ) e. Fin )
61	59, 60	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) \ { J } ) e. Fin )
62	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) ) -> P e. NN )
63	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) ) -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
64		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) -> j e. ( 1 ... M ) )
65	64, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) -> j e. ( 0 ... M ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
67	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) ) -> J e. ZZ )
68	62, 63, 66, 67	etransclem3 40454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) ) -> if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
69	61, 68	fprodzcl 14684	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
70		dvds0 14997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` P ) e. ZZ -> ( ! ` P ) || 0 )
71	4, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` P ) || 0 )
72	71	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || 0 )
73		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( P < ( C ` J ) -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) = 0 )
74	73	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( P < ( C ` J ) -> 0 = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> 0 = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
76	72, 75	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
77		iddvds 14995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ! ` P ) e. ZZ -> ( ! ` P ) || ( ! ` P ) )
78	4, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` P ) || ( ! ` P ) )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || ( ! ` P ) )
80		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. P < ( C ` J ) -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
81	80	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ P = ( C ` J ) ) -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
82		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P = ( C ` J ) -> ( P - ( C ` J ) ) = ( ( C ` J ) - ( C ` J ) ) )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) = ( ( C ` J ) - ( C ` J ) ) )
84	11, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) )
85	84	elfzelzd 39530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C ` J ) e. ZZ )
86	85	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C ` J ) e. CC )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. CC )
88	87	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( C ` J ) - ( C ` J ) ) = 0 )
89	83, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) = 0 )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) = ( ! ` 0 ) )
91		fac0 13063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ! ` 0 ) = 1
92	90, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) = 1 )
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ( ! ` P ) / 1 ) )
94	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ! ` P ) e. CC )
95	94	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ! ` P ) / 1 ) = ( ! ` P ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / 1 ) = ( ! ` P ) )
97	93, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ! ` P ) )
98	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) = ( 0 ^ 0 ) )
99		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> 0 e. CC )
100	99	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( 0 ^ 0 ) = 1 )
101	98, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) = 1 )
102	97, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ( ! ` P ) x. 1 ) )
103	94	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ! ` P ) x. 1 ) = ( ! ` P ) )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) x. 1 ) = ( ! ` P ) )
105	102, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ! ` P ) )
106	105	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ! ` P ) )
107	81, 106	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
108	79, 107	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
109	71	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || 0 )
110		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) )
112	111	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
113		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ph )
114	85	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ` J ) e. RR )
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR )
116	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. RR )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> P e. RR )
118	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR )
119	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. RR )
120	118, 119, 110	nltled 10187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P )
122		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. P = ( C ` J ) -> P =/= ( C ` J ) )
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> P =/= ( C ` J ) )
124	115, 117, 121, 123	leneltd 10191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) < P )
125	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> P e. ZZ )
127	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( C ` J ) e. ZZ )
128	126, 127	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ )
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( C ` J ) < P )
130	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( C ` J ) e. RR )
131	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> P e. RR )
132	130, 131	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ( C ` J ) < P <-> 0 < ( P - ( C ` J ) ) ) )
133	129, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> 0 < ( P - ( C ` J ) ) )
134		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P - ( C ` J ) ) e. NN <-> ( ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ /\ 0 < ( P - ( C ` J ) ) ) )
135	128, 133, 134	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN )
136	135	0expd 13024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) = 0 )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. 0 ) )
138	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ! ` P ) e. CC )
139	135	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 )
140	139	faccld 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) e. NN )
141	140	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) e. CC )
142	140	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) =/= 0 )
143	138, 141, 142	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. CC )
144	143	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. 0 ) = 0 )
145	137, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C ` J ) < P ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = 0 )
146	113, 124, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) = 0 )
147	112, 146	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> 0 = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
148	109, 147	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) /\ -. P = ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
149	108, 148	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ! ` P ) || if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
150	76, 149	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` P ) || if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
151	4, 58, 69, 150	dvdsmultr1d 15020	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` P ) || ( if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
152	44	zcnd 11483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... M ) ) -> if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. CC )
153		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( C ` j ) = ( C ` J ) )
154	153	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( j = J -> ( P < ( C ` j ) <-> P < ( C ` J ) ) )
155	154	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( P < ( C ` j ) <-> P < ( C ` J ) ) )
156	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( P - ( C ` j ) ) = ( P - ( C ` J ) ) )
157	156	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) = ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j = J -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) = ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
159	158	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) = ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
160		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( j = J -> ( J - j ) = ( J - J ) )
161	160, 48	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( J - j ) = 0 )
162	156	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( P - ( C ` j ) ) = ( P - ( C ` J ) ) )
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) = ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) )
164	159, 163	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j = J ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) )
165	155, 164	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j = J ) -> if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) = if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) )
166	31, 152, 27, 165	fprodsplit1 39825	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) = ( if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( 0 ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( ( 1 ... M ) \ { J } ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
167	151, 166	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> ( ! ` P ) || prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) )
168		dvdsmultr2 15021	. . 3 |- ( ( ( ! ` P ) e. ZZ /\ ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) e. ZZ /\ prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` P ) || prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) ) )
169	46, 167, 168	sylc 65	. 2 |- ( ph -> ( ! ` P ) || ( ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
170		etransclem25.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
171	170	faccld 13071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
172	171	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
173	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( C ` j ) e. ( 0 ... N ) )
174	13, 173	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( C ` j ) e. NN0 )
175	174	faccld 13071	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) e. NN )
176	175	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) e. CC )
177	10, 176	fprodcl 14682	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) e. CC )
178	175	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( C ` j ) ) =/= 0 )
179	10, 176, 178	fprodn0 14709	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) =/= 0 )
180	172, 177, 179	divcld 10801	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) e. CC )
181	29	zcnd 11483	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) e. CC )
182	31, 152	fprodcl 14682	. . . 4 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) e. CC )
183	180, 181, 182	mulassd 10063	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) ) )
184		etransclem25.t	. . 3 |- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) )
185	183, 184	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( C ` j ) ) ) x. if ( ( P - 1 ) < ( C ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( C ` 0 ) ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( C ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( C ` j ) ) ) ) ) ) = T )
186	169, 185	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( ! ` P ) || T )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  etransclem28  40479  etransclem38  40489