Theorem sylow1lem2 18014

Description: Lemma for sylow1 18018. The function .(+) is a group action on S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem2	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Distinct variable groups:   x, s, y, z   x, S, y, z   N, s, x, y, z   X, s, x, y, z   .+ , s, x, y, z   x, .(+) , y, z   G, s, x, y, z   P, s, x, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( s)   .(+) ( s)   S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2

Dummy variables a b c u w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		sylow1lem.s	. . . 4 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
3		sylow1.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . 5 |- X e. _V
6	5	pwex 4848	. . . 4 |- ~P X e. _V
7	2, 6	rabex2 4815	. . 3 |- S e. _V
8	1, 7	jctir 561	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ S e. _V ) )
9		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> x e. X )
10		sylow1lem.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. X |-> ( x .+ z ) )
12	3, 10, 11	grplmulf1o 17489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
13	1, 9, 12	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
14		f1of1 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
16		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. S )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = y -> ( # ` s ) = ( # ` y ) )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = y -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
19	18, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
20	16, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. ~P X )
22	21	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y C_ X )
23		f1ssres 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X /\ y C_ X ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
24	15, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
25		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ X -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
26		f1eq1 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
27	22, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
28	24, 27	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X )
29		f1f 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X )
30		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
32	5	elpw2 4828	. . . . . . 7 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X <-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X )
34		f1f1orn 6148	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
35		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
36	35	f1oen 7976	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
37	28, 34, 36	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
38		sylow1.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. Fin )
39		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
40	38, 22, 39	syl2an2r 876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. Fin )
41		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
42	38, 31, 41	syl2an2r 876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
43		hashen 13135	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
45	37, 44	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
46	20	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ N ) )
47	45, 46	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) )
48		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( # ` s ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
50	49, 2	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
51	33, 47, 50	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
52	51	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
53		sylow1lem.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
54	53	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> .(+) : ( X X. S ) --> S )
55	52, 54	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
56	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> G e. Grp )
57		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
58	3, 57	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
59	56, 58	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0g ` G ) e. X )
60		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
61		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
62		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
64	61, 63	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
65	64	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
66		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
67	66	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
68	67	rnex 7100	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
69	65, 53, 68	ovmpt2a 6791	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
70	59, 60, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
71		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) } C_ ~P X
72	2, 71	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S C_ ~P X
73	72, 60	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ~P X )
74	73	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ X )
75	74	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> z e. X )
76	3, 10, 57	grplid 17452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
77	56, 75, 76	syl2an2r 876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
78	77	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> z ) )
79		mptresid 5456	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
80	78, 79	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( _I |` a ) )
81	80	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ran ( _I |` a ) )
82		rnresi 5479	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
83	81, 82	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = a )
84	70, 83	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
85		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( c .+ z ) e. _V
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( c .+ z ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
87	85, 86	abrexco 6502	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) }
88		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
89	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. S )
90		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
91		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
93	90, 92	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
94	93	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
95	66	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
96	95	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
97	94, 53, 96	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. S ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
98	88, 89, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) )
100	99	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) }
101	98, 100	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } )
102	101	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) ) )
103	102	abbidv 2741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } )
104	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
105		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
107	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	75	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
109	3, 10	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
110	104, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
111	110	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
112	111	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
113	112	abbidv 2741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) } )
114	87, 103, 113	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } )
115		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
116	115	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) }
117		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) )
118	117	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) }
119	114, 116, 118	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
120	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
121	120, 88, 89	fovrnd 6806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. S )
122		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
123		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
125	122, 124	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) )
126		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
127	126	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
128	125, 127	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
129	128	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
130		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
131	130	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
132	131	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
133	129, 53, 132	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. S ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
134	105, 121, 133	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
135	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
136	3, 10	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
137	135, 105, 88, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
138		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
139		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
141	138, 140	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
142	141	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
143	66	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
144	143	rnex 7100	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
145	142, 53, 144	ovmpt2a 6791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
146	137, 89, 145	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
147	119, 134, 146	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
148	147	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
149	84, 148	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
150	149	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
151	55, 150	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
152	3, 10, 57	isga 17724	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct S ) <-> ( ( G e. Grp /\ S e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
153	8, 151, 152	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-hash 13118  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  sylow1lem3  18015  sylow1lem5  18017