faclim2 - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem faclim2 31634

Description: Another factorial limit due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 17-Dec-2017.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
faclim2.1

**Assertion**
Ref	Expression
faclim2

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem faclim2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclim2.1	. 2
2		oveq2 6658	. . . . . . 7
3	2	oveq2d 6666	. . . . . 6
4		oveq2 6658	. . . . . . 7
5	4	fveq2d 6195	. . . . . 6
6	3, 5	oveq12d 6668	. . . . 5
7	6	mpteq2dv 4745	. . . 4
8	7	breq1d 4663	. . 3
9		oveq2 6658	. . . . . . 7
10	9	oveq2d 6666	. . . . . 6
11		oveq2 6658	. . . . . . 7
12	11	fveq2d 6195	. . . . . 6
13	10, 12	oveq12d 6668	. . . . 5
14	13	mpteq2dv 4745	. . . 4
15	14	breq1d 4663	. . 3
16		oveq2 6658	. . . . . . 7
17	16	oveq2d 6666	. . . . . 6
18		oveq2 6658	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6
20	17, 19	oveq12d 6668	. . . . 5
21	20	mpteq2dv 4745	. . . 4
22	21	breq1d 4663	. . 3
23		oveq2 6658	. . . . . . 7
24	23	oveq2d 6666	. . . . . 6
25		oveq2 6658	. . . . . . 7
26	25	fveq2d 6195	. . . . . 6
27	24, 26	oveq12d 6668	. . . . 5
28	27	mpteq2dv 4745	. . . 4
29	28	breq1d 4663	. . 3
30		nnuz 11723	. . . . 5
31		1zzd 11408	. . . . 5
32		nnex 11026	. . . . . . 7
33	32	mptex 6486	. . . . . 6
34	33	a1i 11	. . . . 5
35		1cnd 10056	. . . . 5
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
37		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
39	36, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
40		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
42	39, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
43		eqid 2622	. . . . . . . 8
44		ovex 6678	. . . . . . . 8
45	42, 43, 44	fvmpt 6282	. . . . . . 7
46		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12
47	46	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
48	47	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
50		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12
51		faccl 13070	. . . . . . . . . . . 12
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11
53	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10
54	53	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9
55	49, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
56		nncn 11028	. . . . . . . . . 10
57	56	addid1d 10236	. . . . . . . . 9
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
59	55, 58	oveq12d 6668	. . . . . . 7
60	52	nnne0d 11065	. . . . . . . 8
61	53, 60	dividd 10799	. . . . . . 7
62	45, 59, 61	3eqtrd 2660	. . . . . 6
63	62	adantl 482	. . . . 5 $/\$
64	30, 31, 34, 35, 63	climconst 14274	. . . 4
65	64	trud 1493	. . 3
66		1zzd 11408	. . . . . 6 $/\$
67		simpr 477	. . . . . 6 $/\$
68	32	mptex 6486	. . . . . . 7
69	68	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
70		1zzd 11408	. . . . . . . 8
71		1cnd 10056	. . . . . . . 8
72		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . 9
73	72	nnzd 11481	. . . . . . . 8
74	32	mptex 6486	. . . . . . . . 9
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
79		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
80		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
81	78, 79, 80	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9
82	81	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
83	30, 70, 71, 73, 75, 82	divcnvlin 31618	. . . . . . 7
84	83	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
85		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
86	85	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
87		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
89		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . 15
90		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91	89, 90	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	91	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	88, 92	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
94	93	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 $/\$
95		nnnn0addcl 11323	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	96	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98		faccl 13070	. . . . . . . . . . . 12
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	94, 99	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 $/\$
101	100	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
102		eqid 2622	. . . . . . . . 9
103	101, 102	fmptd 6385	. . . . . . . 8
104	103	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
105	104	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
107	106	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
109	85, 108	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . 11 $/\$
110	107, 109	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 $/\$
111	110	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
112	111, 79	fmptd 6385	. . . . . . . 8
113	112	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
114	113	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
115		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
117	116	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
118		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
119	117, 118	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
121		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
122	121	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
123		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	124	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
127	115, 126	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
128	127	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
129	128	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	125, 129, 117	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	120, 130	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$
132	122, 118	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
133		facp1 13065	. . . . . . . . . . . 12
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
135	121	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
136	118	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
137		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
138	135, 136, 137	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
139	138	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$
140	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
141	134, 139, 140	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 $/\$
142	131, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
143	124, 128	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
144	143	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 $/\$
145		faccl 13070	. . . . . . . . . . . 12
146	132, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
147	146	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 $/\$
148	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
149	121, 148	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . 11 $/\$
150	149	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 $/\$
151	146	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 $/\$
152	149	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 $/\$
153	144, 147, 117, 150, 151, 152	divmuldivd 10842	. . . . . . . . 9 $/\$
154	142, 153	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
156	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
157	155, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
158	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11
159	157, 158	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
160		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
161		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
162	159, 160, 161	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9
163	162	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
164	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
165	155, 164	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
166		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
168	165, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
169		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11
170	168, 102, 169	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10
171	170, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
172	171	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
173	154, 163, 172	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 $/\$
174	173	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
175	30, 66, 67, 69, 84, 105, 114, 174	climmul 14363	. . . . 5 $/\$
176		1t1e1 11175	. . . . 5
177	175, 176	syl6breq 4694	. . . 4 $/\$
178	177	ex 450	. . 3
179	8, 15, 22, 29, 65, 178	nn0ind 11472	. 2
180	1, 179	syl5eqbr 4688	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

cvv 3200 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cexp 12860

cfa 13060

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220

This theorem is referenced by: (None)

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