Theorem finsumvtxdg2sstep 26445

Description: Induction step of finsumvtxdg2size 26446: In a finite pseudograph of finite size, the sum of the degrees of all vertices of the pseudograph is twice the size of the pseudograph if the sum of the degrees of all vertices of the subgraph of the pseudograph not containing one of the vertices is twice the size of the subgraph. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	|- V = (Vtx ` G )
finsumvtxdg2sstep.e	|- E = (iEdg ` G )
finsumvtxdg2sstep.k	|- K = ( V \ { N } )
finsumvtxdg2sstep.i	|- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
finsumvtxdg2sstep.p	|- P = ( E |` I )
finsumvtxdg2sstep.s	|- S = <. K , P >.

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep	|- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( P e. Fin -> sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, E   i, G   i, N   v, E   v, G   v, K   v, N   i, V, v

Allowed substitution hints:   P( v, i)   S( v, i)   I( v, i)   K( i)

Proof of Theorem finsumvtxdg2sstep

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2sstep.p	. . 3 |- P = ( E |` I )
2		finresfin 8186	. . . 4 |- ( E e. Fin -> ( E |` I ) e. Fin )
3	2	ad2antll 765	. . 3 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( E |` I ) e. Fin )
4	1, 3	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> P e. Fin )
5		difsnid 4341	. . . . . . . . 9 |- ( N e. V -> ( ( V \ { N } ) u. { N } ) = V )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( V \ { N } ) u. { N } ) = V )
7	6	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> V = ( ( V \ { N } ) u. { N } ) )
8	7	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = sum_ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) )
9		diffi 8192	. . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( V \ { N } ) e. Fin )
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ E e. Fin ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( V \ { N } ) e. Fin )
12		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> N e. V )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> N e. V )
14		neldifsn 4321	. . . . . . . . 9 |- -. N e. ( V \ { N } )
15	14	nelir 2900	. . . . . . . 8 |- N e/ ( V \ { N } )
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> N e/ ( V \ { N } ) )
17		dmfi 8244	. . . . . . . . . . 11 |- ( E e. Fin -> dom E e. Fin )
18	17	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> dom E e. Fin )
19	5	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. V -> ( v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) <-> v e. V ) )
20	19	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. V -> ( v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) -> v e. V ) )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) -> v e. V ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ) -> v e. V )
23		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . . . . . . . 11 |- V = (Vtx ` G )
24		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = (iEdg ` G )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- dom E = dom E
26	23, 24, 25	vtxdgfisnn0 26371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom E e. Fin /\ v e. V ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) e. NN0 )
27	18, 22, 26	syl2an2r 876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) e. ZZ )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> A. v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) e. ZZ )
30		fsumsplitsnun 14484	. . . . . . 7 |- ( ( ( V \ { N } ) e. Fin /\ ( N e. V /\ N e/ ( V \ { N } ) ) /\ A. v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) e. ZZ ) -> sum_ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + [_ N / v ]_ ( (VtxDeg ` G ) ` v ) ) )
31	11, 13, 16, 29, 30	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. ( ( V \ { N } ) u. { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + [_ N / v ]_ ( (VtxDeg ` G ) ` v ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( v = N -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( (VtxDeg ` G ) ` N ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ v = N ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( (VtxDeg ` G ) ` N ) )
34	12, 33	csbied 3560	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> [_ N / v ]_ ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( (VtxDeg ` G ) ` N ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> [_ N / v ]_ ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( (VtxDeg ` G ) ` N ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + [_ N / v ]_ ( (VtxDeg ` G ) ` v ) ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) )
37	8, 31, 36	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) )
38	37	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) )
39		finsumvtxdg2sstep.k	. . . . . . . 8 |- K = ( V \ { N } )
40		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . . . . 8 |- I = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
41		finsumvtxdg2sstep.s	. . . . . . . 8 |- S = <. K , P >.
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( E ` j ) = ( E ` i ) )
43	42	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( N e. ( E ` j ) <-> N e. ( E ` i ) ) )
44	43	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }
45	23, 24, 39, 40, 1, 41, 44	finsumvtxdg2ssteplem2 26442	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) = ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) )
48	23, 24, 39, 40, 1, 41, 44	finsumvtxdg2ssteplem4 26444	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) + ( # ` { i e. dom E | ( E ` i ) = { N } } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) ) ) )
49	44	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) = ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } )
50	49	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( # ` P ) + ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) ) = ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) )
51	50	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) )
52	51	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { j e. dom E | N e. ( E ` j ) } ) ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) ) )
53	47, 48, 52	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( sum_ v e. ( V \ { N } ) ( (VtxDeg ` G ) ` v ) + ( (VtxDeg ` G ) ` N ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } = { i e. dom E | N e. ( E ` i ) }
55	23, 24, 39, 40, 1, 41, 54	finsumvtxdg2ssteplem1 26441	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( # ` E ) = ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( 2 x. ( # ` E ) ) = ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) ) )
57	56	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) )
58	57	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> ( 2 x. ( ( # ` P ) + ( # ` { i e. dom E | N e. ( E ` i ) } ) ) ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) )
59	38, 53, 58	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) /\ sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) )
60	59	ex 450	. 2 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) ) )
61	4, 60	embantd 59	1 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) /\ ( V e. Fin /\ E e. Fin ) ) -> ( ( P e. Fin -> sum_ v e. K ( (VtxDeg ` S ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` P ) ) ) -> sum_ v e. V ( (VtxDeg ` G ) ` v ) = ( 2 x. ( # ` E ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   sum_csu 14416  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UPGraph cupgr 25975  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2size  26446