Theorem fldiv 12659

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Proof of Theorem fldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` A ) = ( |_ ` A )
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( |_ ` A ) ) = ( A - ( |_ ` A ) )
3	1, 2	intfrac2 12657	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) /\ ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 /\ A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) ) )
4	3	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
6	5	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) )
7		reflcl 12597	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
8	7	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
10		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
11	7, 10	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
14		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
15		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
16	14, 15	jca 554	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
18		divdir 10710	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
19	9, 13, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
20	6, 19	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
21		flcl 12596	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
24	22, 23	intfracq 12658	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) ) )
25	24	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
26	21, 25	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
28	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
29		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
30	29	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> N e. RR )
31	15	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
32	28, 30, 31	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. RR )
33		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) e. RR -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. RR )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. RR )
35	34	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. CC )
36	32, 34	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
38	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
39	38, 30, 31	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
41	35, 37, 40	addassd 10062	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
42	20, 27, 41	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
43	42	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( A / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) )
44	24	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
45	21, 44	sylan 488	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
46		fracge0 12605	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
47	11, 46	jca 554	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
48		nngt0 11049	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 < N )
49	29, 48	jca 554	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
50		divge0 10892	. . . . 5 |- ( ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) ) /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
51	47, 49, 50	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
52	36, 39, 45, 51	addge0d 10603	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
53		peano2rem 10348	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
55	54, 29, 15	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
56		nnrecre 11057	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 1 / N ) e. RR )
57	55, 56	jca 554	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) e. RR /\ ( 1 / N ) e. RR ) )
58	57	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) e. RR /\ ( 1 / N ) e. RR ) )
59	36, 39, 58	jca31 557	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR ) /\ ( ( ( N - 1 ) / N ) e. RR /\ ( 1 / N ) e. RR ) ) )
60	24	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
61	21, 60	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
62		fraclt1 12603	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
64		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
65		ltdiv1 10887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
66	64, 65	mp3an2 1412	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
67	11, 49, 66	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
68	63, 67	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) )
69	61, 68	jca 554	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
70		leltadd 10512	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR ) /\ ( ( ( N - 1 ) / N ) e. RR /\ ( 1 / N ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) ) )
71	59, 69, 70	sylc 65	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
72		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
73		npcan 10290	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
74	14, 72, 73	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
75	74	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( N / N ) )
76	54	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
77		divdir 10710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
78	72, 77	mp3an2 1412	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
79	76, 14, 15, 78	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
80	14, 15	dividd 10799	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
81	75, 79, 80	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
82	81	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
83	71, 82	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 )
84	32	flcld 12599	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
85	36, 39	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. RR )
86		flbi2 12618	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
87	84, 85, 86	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
88	52, 83, 87	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
89	43, 88	eqtr2d 2657	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fldiv2  12660  modmulnn  12688  digit2  12997  bitsp1  15153