Theorem intfracq 12658

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intfrac2 12657. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	|- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
intfracq.2	|- F = ( ( M / N ) - Z )

Assertion

Ref	Expression
intfracq	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. RR )
3		nnre 11027	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
5		nnne0 11053	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
7	2, 4, 6	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. RR )
8		intfracq.1	. . . . 5 |- Z = ( |_ ` ( M / N ) )
9		intfracq.2	. . . . 5 |- F = ( ( M / N ) - Z )
10	8, 9	intfrac2 12657	. . . 4 |- ( ( M / N ) e. RR -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
11	7, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F < 1 /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )
12	11	simp1d 1073	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ F )
13		fraclt1 12603	. . . . . . 7 |- ( ( M / N ) e. RR -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
14	7, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) < 1 )
15	8	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( ( M / N ) - Z ) = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
16	9, 15	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) )
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F = ( ( M / N ) - ( |_ ` ( M / N ) ) ) )
18		nncn 11028	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19	18, 5	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N / N ) = 1 )
21	14, 17, 20	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F < ( N / N ) )
22		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M / N ) e. RR -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. RR )
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. RR )
24	8, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. RR )
25	7, 24	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( M / N ) - Z ) e. RR )
26	9, 25	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F e. RR )
27		nngt0 11049	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
28	3, 27	jca 554	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
30		ltmuldiv2 10897	. . . . . 6 |- ( ( F e. RR /\ N e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
31	26, 4, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> F < ( N / N ) ) )
32	21, 31	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) < N )
33	9	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( N x. F ) = ( N x. ( ( M / N ) - Z ) )
34	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
35	7	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) e. CC )
36	7	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( M / N ) ) e. ZZ )
37	8, 36	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. ZZ )
38	37	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> Z e. CC )
39	34, 35, 38	subdid 10486	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( ( M / N ) - Z ) ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
40	33, 39	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) = ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) )
41		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. CC )
43	42, 34, 6	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
44		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
45	43, 44	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) e. ZZ )
46		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
48	47, 37	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. Z ) e. ZZ )
49	45, 48	zsubcld 11487	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. ( M / N ) ) - ( N x. Z ) ) e. ZZ )
50	40, 49	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) e. ZZ )
51		zltlem1 11430	. . . . 5 |- ( ( ( N x. F ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
52	50, 47, 51	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) < N <-> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) ) )
53	32, 52	mpbid 222	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) )
54		peano2rem 10348	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
55	3, 54	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
56	55	adantl 482	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( N - 1 ) e. RR )
57		lemuldiv2 10904	. . . 4 |- ( ( F e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
58	26, 56, 29, 57	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( N x. F ) <_ ( N - 1 ) <-> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) ) )
59	53, 58	mpbid 222	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> F <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
60	11	simp3d 1075	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M / N ) = ( Z + F ) )
61	12, 59, 60	3jca 1242	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ F /\ F <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( M / N ) = ( Z + F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fldiv  12659