Theorem fmcncfil 29977

Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmcncfil.1	|- J = ( MetOpen ` D )
fmcncfil.2	|- K = ( MetOpen ` E )

Assertion

Ref	Expression
fmcncfil	|- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` E ) )

Proof of Theorem fmcncfil

Dummy variables e b x y d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. 2 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> E e. ( *Met ` Y ) )
2		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
3		fmcncfil.1	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	cmetcvg 23083	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim B ) =/= (/) )
5		n0 3931	. . . . . 6 |- ( ( J fLim B ) =/= (/) <-> E. x x e. ( J fLim B ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> E. x x e. ( J fLim B ) )
7	2, 6	sylancom 701	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> E. x x e. ( J fLim B ) )
8		cmetmet 23084	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
9		metxmet 22139	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
10	2, 8, 9	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		cfilfil 23065	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> B e. ( Fil ` X ) )
12	10, 11	sylancom 701	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> B e. ( Fil ` X ) )
13	3	mopntopon 22244	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
15		fmcncfil.2	. . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` E )
16	15	mopntopon 22244	. . . . . . . 8 |- ( E e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
17	1, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		simpl3 1066	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
19		cnflf 21806	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. b e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim b ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) ) ) )
20	19	simplbda 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. b e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim b ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) )
21	14, 17, 18, 20	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> A. b e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim b ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( J fLim b ) = ( J fLim B ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( K fLimf b ) = ( K fLimf B ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( ( K fLimf b ) ` F ) = ( ( K fLimf B ) ` F ) )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) <-> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) )
26	22, 25	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( A. x e. ( J fLim b ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) <-> A. x e. ( J fLim B ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) )
27	26	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( B e. ( Fil ` X ) -> ( A. b e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim b ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf b ) ` F ) -> A. x e. ( J fLim B ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) )
28	12, 21, 27	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> A. x e. ( J fLim B ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) )
29		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. x e. ( J fLim B ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) <-> A. x ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) )
30	28, 29	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> A. x ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) )
31		19.29r 1802	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. ( J fLim B ) /\ A. x ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) ) -> E. x ( x e. ( J fLim B ) /\ ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) ) )
32		pm3.35 611	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J fLim B ) /\ ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) )
33	32	eximi 1762	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. ( J fLim B ) /\ ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) ) -> E. x ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) )
34	31, 33	syl 17	. . . 4 |- ( ( E. x x e. ( J fLim B ) /\ A. x ( x e. ( J fLim B ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) ) ) -> E. x ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) )
35	7, 30, 34	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> E. x ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) )
36	3, 15	metcn 22348	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. X ( ( x D y ) < d -> ( ( F ` x ) E ( F ` y ) ) < e ) ) ) )
37	36	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. X ( ( x D y ) < d -> ( ( F ` x ) E ( F ` y ) ) < e ) ) )
38	10, 1, 18, 37	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. X ( ( x D y ) < d -> ( ( F ` x ) E ( F ` y ) ) < e ) ) )
39	38	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> F : X --> Y )
40		flfval 21794	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B e. ( Fil ` X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( K fLimf B ) ` F ) = ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) )
41	17, 12, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( ( K fLimf B ) ` F ) = ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) <-> ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) ) )
43	42	exbidv 1850	. . 3 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( E. x ( F ` x ) e. ( ( K fLimf B ) ` F ) <-> E. x ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) ) )
44	35, 43	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> E. x ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) )
45	15	flimcfil 23112	. . . 4 |- ( ( E e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` E ) )
46	45	ex 450	. . 3 |- ( E e. ( *Met ` Y ) -> ( ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` E ) ) )
47	46	exlimdv 1861	. 2 |- ( E e. ( *Met ` Y ) -> ( E. x ( F ` x ) e. ( K fLim ( ( Y FilMap F ) ` B ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` E ) ) )
48	1, 44, 47	sylc 65	1 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ E e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ B e. (CauFil ` D ) ) -> ( ( Y FilMap F ) ` B ) e. (CauFil ` E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739  CauFilccfil 23050   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cmet 23055

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