Theorem metcn 22348

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon" y there is a positive "delta" z such that a distance less than delta in C maps to a distance less than epsilon in D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	|- J = ( MetOpen ` C )
metcn.4	|- K = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcn	|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, F   w, J, x, y, z   w, K, x, y, z   w, X, x, y, z   w, Y, x, y, z   w, C, x, y, z   w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
2	1	mopntopon 22244	. . 3 |- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3		metcn.4	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` D )
4	3	mopntopon 22244	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		cncnp 21084	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
6	2, 4, 5	syl2an 494	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
7	1, 3	metcnp 22346	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
8	7	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
9	8	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
10		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y )
11	10	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
12	9, 11	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
13	12	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) )
14	13	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )
15	6, 14	bitrd 268	1 |- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. X ( ( x C w ) < z -> ( ( F ` x ) D ( F ` w ) ) < y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22496  nghmcn  22549  metdscn  22659  divcn  22671  cncfmet  22711  nmcvcn  27550  blocni  27660  hhcno  28763  hhcnf  28764  fmcncfil  29977  heicant  33444