Theorem fmtno4prm 41487

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	|- (FermatNo ` 4 ) e. Prime

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11311	. . . 4 |- 4 e. NN0
2		fmtno 41441	. . . 4 |- ( 4 e. NN0 -> (FermatNo ` 4 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) + 1 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- (FermatNo ` 4 ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) + 1 )
4		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
5		2nn0 11309	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
6	5, 1	nn0expcli 12886	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 4 ) e. NN0
7		nnexpcl 12873	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ ( 2 ^ 4 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. NN )
8	4, 6, 7	mp2an 708	. . . . 5 |- ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. NN
9		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10		nnexpcl 12873	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ 4 e. NN0 ) -> ( 2 ^ 4 ) e. NN )
11	4, 1, 10	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 4 ) e. NN
12		1lt2 11194	. . . . . 6 |- 1 < 2
13		expgt1 12898	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 ^ 4 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) )
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1424	. . . . 5 |- 1 < ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) )
15		eluz2b2 11761	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. NN /\ 1 < ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) ) )
16	8, 14, 15	mpbir2an 955	. . . 4 |- ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 )
17		peano2uz 11741	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 2 ^ ( 2 ^ 4 ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
19	3, 18	eqeltri 2697	. 2 |- (FermatNo ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 )
20		elinel2 3800	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -> p e. Prime )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) /\ p || (FermatNo ` 4 ) ) -> p e. Prime )
22		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) /\ p || (FermatNo ` 4 ) ) -> p || (FermatNo ` 4 ) )
23		elinel1 3799	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -> p e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) )
24		elfzle2 12345	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) -> p <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -> p <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) /\ p || (FermatNo ` 4 ) ) -> p <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) )
27		fmtno4prmfac193 41485	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ p || (FermatNo ` 4 ) /\ p <_ ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) -> p = ;; 1 9 3 )
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) /\ p || (FermatNo ` 4 ) ) -> p = ;; 1 9 3 )
29		fmtno4nprmfac193 41486	. . . . . 6 |- -. ;; 1 9 3 || (FermatNo ` 4 )
30		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( p = ;; 1 9 3 -> ( p || (FermatNo ` 4 ) <-> ;; 1 9 3 || (FermatNo ` 4 ) ) )
31	29, 30	mtbiri 317	. . . . 5 |- ( p = ;; 1 9 3 -> -. p || (FermatNo ` 4 ) )
32	28, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) /\ p || (FermatNo ` 4 ) ) -> -. p || (FermatNo ` 4 ) )
33	32	pm2.01da 458	. . 3 |- ( p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -> -. p || (FermatNo ` 4 ) )
34	33	rgen 2922	. 2 |- A. p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -. p || (FermatNo ` 4 )
35		isprm7 15420	. 2 |- ( (FermatNo ` 4 ) e. Prime <-> ( (FermatNo ` 4 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. p e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` (FermatNo ` 4 ) ) ) ) i^i Prime ) -. p || (FermatNo ` 4 ) ) )
36	19, 34, 35	mpbir2an 955	1 |- (FermatNo ` 4 ) e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   9c9 11077   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   || cdvds 14983   Primecprime 15385  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542  df-lgs 25020  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  65537prm  41488  fmtnofz04prm  41489