Theorem isprm7 15420

Description: One need only check prime divisors of P up to sqr P in order to ensure primality. This version of isprm5 15419 combines the primality and bound on z into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 15419	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) )
2		prmz 15389	. . . . . . . 8 |- ( z e. Prime -> z e. ZZ )
3	2	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( z e. Prime -> z e. RR )
4		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( z e. Prime -> 0 e. RR )
5		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Prime -> 1 e. RR )
6		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Prime -> 0 < 1 )
8		prmgt1 15409	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Prime -> 1 < z )
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 10198	. . . . . . . 8 |- ( z e. Prime -> 0 < z )
10	4, 3, 9	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( z e. Prime -> 0 <_ z )
11	3, 10	jca 554	. . . . . 6 |- ( z e. Prime -> ( z e. RR /\ 0 <_ z ) )
12		eluzelre 11698	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. RR )
13		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 e. RR )
14		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. RR )
16		0le2 11111	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ 2 )
18		eluzle 11700	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ P )
20	12, 19	jca 554	. . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( P e. RR /\ 0 <_ P ) )
21		resqcl 12931	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( z ^ 2 ) e. RR )
22		sqge0 12940	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> 0 <_ ( z ^ 2 ) )
23	21, 22	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> ( ( z ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( z ^ 2 ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) -> ( ( z ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( z ^ 2 ) ) )
25		sqrtle 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( z ^ 2 ) ) /\ ( P e. RR /\ 0 <_ P ) ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( sqr ` ( z ^ 2 ) ) <_ ( sqr ` P ) ) )
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) /\ ( P e. RR /\ 0 <_ P ) ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> ( sqr ` ( z ^ 2 ) ) <_ ( sqr ` P ) ) )
27		sqrtsq 14010	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) -> ( sqr ` ( z ^ 2 ) ) = z )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) -> ( ( sqr ` ( z ^ 2 ) ) <_ ( sqr ` P ) <-> z <_ ( sqr ` P ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) /\ ( P e. RR /\ 0 <_ P ) ) -> ( ( sqr ` ( z ^ 2 ) ) <_ ( sqr ` P ) <-> z <_ ( sqr ` P ) ) )
30	26, 29	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 <_ z ) /\ ( P e. RR /\ 0 <_ P ) ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> z <_ ( sqr ` P ) ) )
31	11, 20, 30	syl2anr 495	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ P <-> z <_ ( sqr ` P ) ) )
32	31	imbi1d 331	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) -> ( ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) )
33	32	ralbidva 2985	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) <-> A. z e. Prime ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) )
34	33	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( ( z ^ 2 ) <_ P -> -. z || P ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) )
35		impexp 462	. . . . 5 |- ( ( ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> -. z || P ) <-> ( z e. Prime -> ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) )
36	12, 19	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( sqr ` P ) e. RR )
37	36	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. ZZ )
38	37, 2	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
40		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Prime -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ z )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. Prime -> 2 <_ z )
43	42	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> 2 <_ z )
44		flge 12606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( sqr ` P ) e. RR /\ z e. ZZ ) -> ( z <_ ( sqr ` P ) <-> z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
45	36, 2, 44	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) -> ( z <_ ( sqr ` P ) <-> z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) )
47		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
48		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
49	47, 48	mp3anl1 1418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( 2 <_ z /\ z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. Prime ) /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
51	50	anasss 679	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) ) -> z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) )
52		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) ) -> z e. Prime )
53	51, 52	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) ) -> z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) )
54	53	ex 450	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) ) )
55		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) <-> ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) /\ z e. Prime ) )
56		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) -> z e. ZZ )
57	56	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) -> z e. RR )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> z e. RR )
59		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( sqr ` P ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. RR )
60	36, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) e. RR )
62	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> ( sqr ` P ) e. RR )
63		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( sqr ` P ) ) )
65		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( sqr ` P ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) <_ ( sqr ` P ) )
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) <_ ( sqr ` P ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` P ) ) <_ ( sqr ` P ) )
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) ) -> z <_ ( sqr ` P ) )
69	68	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) -> z <_ ( sqr ` P ) ) )
70	69	anim1d 588	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) /\ z e. Prime ) -> ( z <_ ( sqr ` P ) /\ z e. Prime ) ) )
71	55, 70	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -> ( z <_ ( sqr ` P ) /\ z e. Prime ) ) )
72		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( z <_ ( sqr ` P ) /\ z e. Prime ) <-> ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) )
73	71, 72	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -> ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) ) )
74	54, 73	impbid 202	. . . . . 6 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) <-> z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) ) )
75	74	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( z e. Prime /\ z <_ ( sqr ` P ) ) -> -. z || P ) <-> ( z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -> -. z || P ) ) )
76	35, 75	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. Prime -> ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) <-> ( z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -> -. z || P ) ) )
77	76	ralbidv2 2984	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. Prime ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) <-> A. z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -. z || P ) )
78	77	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. Prime ( z <_ ( sqr ` P ) -> -. z || P ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -. z || P ) )
79	1, 34, 78	3bitri 286	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` P ) ) ) i^i Prime ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  41487  31prm  41512