Theorem eluz2b2 11761

Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2b2	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Proof of Theorem eluz2b2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b1 11759	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
2		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
3		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
4		ltle 10126	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1 < N -> 1 <_ N ) )
6	5	imdistani 726	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
7		elnnz1 11403	. . . . 5 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
8	6, 7	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> N e. NN )
9		simpr 477	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> 1 < N )
10	8, 9	jca 554	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
11		nnz 11399	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
12	11	anim1i 592	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ 1 < N ) -> ( N e. ZZ /\ 1 < N ) )
13	10, 12	impbii 199	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 < N ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
14	1, 13	bitri 264	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluz2b3  11762  prmind2  15398  nprm  15401  nprmi  15402  isprm5  15419  phibndlem  15475  pclem  15543  pcpre1  15547  pockthlem  15609  prmunb  15618  prmreclem1  15620  prmlem1a  15813  odcau  18019  sylow3lem6  18047  gexexlem  18255  wilthlem1  24794  wilth  24797  chtge0  24838  isppw  24840  muval1  24859  chtwordi  24882  vma1  24892  fsumvma2  24939  chpval2  24943  chpchtsum  24944  chpub  24945  mersenne  24952  perfect1  24953  perfectlem2  24955  lgslem4  25025  lgsne0  25060  2sqblem  25156  chtppilimlem1  25162  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem2  25198  padicabvcxp  25321  ostth2lem3  25324  ostth2lem4  25325  ostth2  25326  ostth3  25327  umgr2cwwkdifex  26942  ex-mod  27306  rmspecsqrtnqOLD  37471  rmspecnonsq  37472  rmspecfund  37474  ltrmxnn0  37516  itgsinexp  40170  wallispilem3  40284  fmtno4prm  41487  perfectALTVlem2  41631