Theorem fourierdlem31 40355

Description: If A is finite and for any element in A there is a number m such that a property holds for all numbers larger than m, then there is a number n such that the property holds for all numbers larger than n and for all elements in A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem31.i	|- F/ i ph
fourierdlem31.r	|- F/ r ph
fourierdlem31.iv	|- F/_ i V
fourierdlem31.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fourierdlem31.exm	|- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
fourierdlem31.m	|- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
fourierdlem31.v	|- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
fourierdlem31.n	|- N = sup ( ran V , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem31	|- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Distinct variable groups:   A, i, m, r   A, n, i, r   n, N   ch, m   ch, n

Allowed substitution hints:   ph( i, m, n, r)   ch( i, r)   M( i, m, n, r)   N( i, m, r)   V( i, m, n, r)

Proof of Theorem fourierdlem31

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
2		rzal 4073	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. i e. A ch )
3	2	ralrimivw 2967	. . . 4 |- ( A = (/) -> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch )
4		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n (,) +oo ) = ( 1 (,) +oo ) )
5	4	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
6	5	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN /\ A. r e. ( 1 (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
7	1, 3, 6	sylancr 695	. . 3 |- ( A = (/) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
8	7	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
9		fourierdlem31.n	. . . 4 |- N = sup ( ran V , RR , < )
10		fourierdlem31.i	. . . . . . . 8 |- F/ i ph
11		fourierdlem31.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> M = { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
13	12	infeq1d 8383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) = inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) )
14		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ NN
15		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . 12 |- { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 )
17		fourierdlem31.exm	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. A E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
18	17	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
19		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) <-> E. m e. NN A. r e. ( m (,) +oo ) ch )
20	18, 19	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) )
21		infssuzcl 11772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } =/= (/) ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
22	16, 20, 21	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
23	14, 22	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } , RR , < ) e. NN )
24	13, 23	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. NN )
25	24	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( i e. A -> inf ( M , RR , < ) e. NN ) )
26	10, 25	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN )
27		fourierdlem31.v	. . . . . . . 8 |- V = ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
28	27	rnmptss 6392	. . . . . . 7 |- ( A. i e. A inf ( M , RR , < ) e. NN -> ran V C_ NN )
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran V C_ NN )
30	29	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ NN )
31		ltso 10118	. . . . . . 7 |- < Or RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> < Or RR )
33		fourierdlem31.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
34		mptfi 8265	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) ) e. Fin )
36	27, 35	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
37		rnfi 8249	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ran V e. Fin )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran V e. Fin )
39	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V e. Fin )
40		neqne 2802	. . . . . . . . 9 |- ( -. A = (/) -> A =/= (/) )
41		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) <-> E. i i e. A )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( -. A = (/) -> E. i i e. A )
43	42	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. i i e. A )
44		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i -. A = (/)
45	10, 44	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ -. A = (/) )
46		fourierdlem31.iv	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i V
47	46	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ran V
48		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i (/)
49	47, 48	nfne 2894	. . . . . . . 8 |- F/ i ran V =/= (/)
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> i e. A )
51	27	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
52	50, 24, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. ran V )
53		ne0i 3921	. . . . . . . . . . 11 |- (inf ( M , RR , < ) e. ran V -> ran V =/= (/) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V =/= (/) )
55	54	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( i e. A -> ran V =/= (/) ) )
57	45, 49, 56	exlimd 2087	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ( E. i i e. A -> ran V =/= (/) ) )
58	43, 57	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V =/= (/) )
59		nnssre 11024	. . . . . . 7 |- NN C_ RR
60	30, 59	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> ran V C_ RR )
61		fisupcl 8375	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR /\ ( ran V e. Fin /\ ran V =/= (/) /\ ran V C_ RR ) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
62	32, 39, 58, 60, 61	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. ran V )
63	30, 62	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> sup ( ran V , RR , < ) e. NN )
64	9, 63	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> N e. NN )
65		fourierdlem31.r	. . . . 5 |- F/ r ph
66		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i RR
67		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i <
68	47, 66, 67	nfsup 8357	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i sup ( ran V , RR , < )
69	9, 68	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i N
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i (,)
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i +oo
72	69, 70, 71	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( N (,) +oo )
73	72	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ i r e. ( N (,) +oo )
74	10, 73	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) )
75	27	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. A /\ inf ( M , RR , < ) e. NN ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
76	50, 24, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) = inf ( M , RR , < ) )
77	24	nnxrd 39201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. RR* )
78	76, 77	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR* )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR* )
80		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
82		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. ( N (,) +oo ) -> r e. RR )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. RR )
84	76, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. NN )
85	84	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. RR )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) e. RR )
87		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. A -> A =/= (/) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A =/= (/) )
89	88	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> -. A = (/) )
90	89, 64	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. NN )
91	90	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> N e. RR )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR )
93	89, 60	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ran V C_ RR )
94	29, 59	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ran V C_ RR )
95		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ran V C_ RR /\ ran V e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
96	94, 38, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x )
98	76, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. ran V )
99		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ran V C_ RR /\ ran V =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran V y <_ x ) /\ ( V ` i ) e. ran V ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
100	93, 54, 97, 98, 99	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ sup ( ran V , RR , < ) )
101	100, 9	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) <_ N )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) <_ N )
103	92	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N e. RR* )
104		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( N (,) +oo ) )
105		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR* /\ +oo e. RR* /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
106	103, 81, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> N < r )
107	86, 92, 83, 102, 106	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( V ` i ) < r )
108	83	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r < +oo )
109	79, 81, 83, 107, 108	eliood 39720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
110	13, 22	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> inf ( M , RR , < ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
111	76, 110	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } )
112		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m A
113		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
114	11, 113	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m M
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m RR
116		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m <
117	114, 115, 116	nfinf 8388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ minf ( M , RR , < )
118	112, 117	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
119	27, 118	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m V
120		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m i
121	119, 120	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ m ( V ` i )
122	121, 113	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
123	121	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m ( V ` i ) e. NN
124		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m (,)
125		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m +oo
126	121, 124, 125	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m ( ( V ` i ) (,) +oo )
127		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m ch
128	126, 127	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch
129	123, 128	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
130	122, 129	nfbi 1833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
131		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } ) )
132		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m e. NN <-> ( V ` i ) e. NN ) )
133		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( V ` i ) -> ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) )
134		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( m (,) +oo )
135		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ r A
136		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/ r A. r e. ( m (,) +oo ) ch
137		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ r NN
138	136, 137	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ r { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch }
139	11, 138	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r M
140		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r RR
141		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ r <
142	139, 140, 141	nfinf 8388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ rinf ( M , RR , < )
143	135, 142	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ r ( i e. A |-> inf ( M , RR , < ) )
144	27, 143	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r V
145		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ r i
146	144, 145	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r ( V ` i )
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r (,)
148		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ r +oo
149	146, 147, 148	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ r ( ( V ` i ) (,) +oo )
150	134, 149	raleqf 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m (,) +oo ) = ( ( V ` i ) (,) +oo ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
151	133, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( V ` i ) -> ( A. r e. ( m (,) +oo ) ch <-> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
152	132, 151	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
153	131, 152	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( V ` i ) -> ( ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) ) <-> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) ) )
154		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( m e. NN /\ A. r e. ( m (,) +oo ) ch ) )
155	121, 130, 153, 154	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( V ` i ) e. NN -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
156	84, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. { m e. NN | A. r e. ( m (,) +oo ) ch } <-> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) ) )
157	111, 156	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> ( ( V ` i ) e. NN /\ A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch ) )
158	157	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. A ) -> A. r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ch )
159	158	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( ( V ` i ) (,) +oo ) ) -> ch )
160	109, 159	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. A ) /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ch )
161	160	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) /\ i e. A ) -> ch )
162	161	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> ( i e. A -> ch ) )
163	74, 162	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( N (,) +oo ) ) -> A. i e. A ch )
164	163	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( r e. ( N (,) +oo ) -> A. i e. A ch ) )
165	65, 164	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
166	165	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch )
167		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( n = N -> ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) )
168		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ r ( n (,) +oo )
169	144	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ r ran V
170	169, 140, 141	nfsup 8357	. . . . . . . 8 |- F/_ r sup ( ran V , RR , < )
171	9, 170	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ r N
172	171, 147, 148	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ r ( N (,) +oo )
173	168, 172	raleqf 3134	. . . . 5 |- ( ( n (,) +oo ) = ( N (,) +oo ) -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
174	167, 173	syl 17	. . . 4 |- ( n = N -> ( A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch <-> A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) )
175	174	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ A. r e. ( N (,) +oo ) A. i e. A ch ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
176	64, 166, 175	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. A = (/) ) -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )
177	8, 176	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. r e. ( n (,) +oo ) A. i e. A ch )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  fourierdlem73  40396