Theorem fourierdlem98 40421

Description: F is continuous on the intervals induced by the moved partition V. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem98.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem98.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem98.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem98.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem98.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem98.fper	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem98.qcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem98.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem98.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem98.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) )
fourierdlem98.v	|- V = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem98	|- ( ph -> ( F |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, i, x   A, m, p, i   B, i, x   B, m, p   C, g, y   C, i, x, y   C, m, p, y   D, g, y   D, i, x   D, m, p   i, F, x   i, J, x   i, M, x   m, M, p   Q, g, k, y   Q, h, y   Q, i, x, k   Q, m, p, k   T, g, k, y   T, h   T, i, x   T, m, p   i, V, x   V, p   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( y, g, h, k, m, p)   A( y, g, h, k)   B( y, g, h, k)   C( h, k)   D( h, k)   P( x, y, g, h, i, k, m, p)   F( y, g, h, k, m, p)   J( y, g, h, k, m, p)   M( y, g, h, k)   V( y, g, h, k, m)

Proof of Theorem fourierdlem98

Dummy variables f l t u w z v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem98.p	. 2 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
2		fourierdlem98.t	. 2 |- T = ( B - A )
3		fourierdlem98.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
4		fourierdlem98.q	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
5		fourierdlem98.f	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> RR )
6		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR C_ CC )
8	5, 7	fssd 6057	. 2 |- ( ph -> F : RR --> CC )
9		fourierdlem98.fper	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
10		fourierdlem98.qcn	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
11		fourierdlem98.c	. 2 |- ( ph -> C e. RR )
12		fourierdlem98.d	. 2 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
13		eqid 2622	. 2 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
14		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z + ( l x. T ) ) = ( y + ( l x. T ) ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = y -> ( E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
17	16	cbvrabv 3199	. . . 4 |- { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q }
18	17	uneq2i 3764	. . 3 |- ( { C , D } u. { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
19	18	eqcomi 2631	. 2 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { z e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( z + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = l -> ( k x. T ) = ( l x. T ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = l -> ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( l x. T ) ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = l -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
23	22	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q )
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( y e. ( C [,] D ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q ) )
25	24	rabbiia 3185	. . . . 5 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q }
26	25	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } )
27	26	fveq2i 6194	. . 3 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) )
28	27	oveq1i 6660	. 2 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = h -> ( l x. T ) = ( h x. T ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( l = h -> ( y + ( l x. T ) ) = ( y + ( h x. T ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( l = h -> ( ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
32	31	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q )
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. ( C [,] D ) -> ( E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q <-> E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q ) )
34	33	rabbiia 3185	. . . . . 6 |- { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q }
35	34	uneq2i 3764	. . . . 5 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } )
36		isoeq5 6571	. . . . 5 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . 4 |- ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
38	37	iotabii 5873	. . 3 |- ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
39		isoeq1 6567	. . . 4 |- ( f = g -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
40	39	cbviotav 5857	. . 3 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
41		fourierdlem98.v	. . 3 |- V = ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. h e. ZZ ( y + ( h x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
42	38, 40, 41	3eqtr4ri 2655	. 2 |- V = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. l e. ZZ ( y + ( l x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
43		id 22	. . . 4 |- ( v = x -> v = x )
44		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( B - v ) = ( B - x ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( ( B - v ) / T ) = ( ( B - x ) / T ) )
46	45	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( v = x -> ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( v = x -> ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) )
48	43, 47	oveq12d 6668	. . 3 |- ( v = x -> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) = ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
49	48	cbvmptv 4750	. 2 |- ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
50		eqeq1 2626	. . . 4 |- ( u = z -> ( u = B <-> z = B ) )
51		id 22	. . . 4 |- ( u = z -> u = z )
52	50, 51	ifbieq2d 4111	. . 3 |- ( u = z -> if ( u = B , A , u ) = if ( z = B , A , z ) )
53	52	cbvmptv 4750	. 2 |- ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) = ( z e. ( A (,] B ) |-> if ( z = B , A , z ) )
54		fourierdlem98.j	. 2 |- ( ph -> J e. ( 0..^ ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) )
55		eqid 2622	. 2 |- ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) )
56		eqid 2622	. 2 |- ( F |` ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) (,) ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) (,) ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) )
57		eqid 2622	. 2 |- ( z e. ( ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) + ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) (,) ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( z - ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( z e. ( ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) + ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` J ) ) ) (,) ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( z - ( ( V ` ( J + 1 ) ) - ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = t -> ( Q ` i ) = ( Q ` t ) )
59	58	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( i = t -> ( ( Q ` i ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) <-> ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) ) )
60	59	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) } = { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) }
61		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) = ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) = ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) )
63	62	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) = ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) )
64	63	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) <-> ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) ) )
65	64	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( w = x -> { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) } = { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) } )
66	60, 65	syl5req 2669	. . . 4 |- ( w = x -> { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) } = { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) } )
67	66	supeq1d 8352	. . 3 |- ( w = x -> sup ( { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) } , RR , < ) = sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) } , RR , < ) )
68	67	cbvmptv 4750	. 2 |- ( w e. RR |-> sup ( { t e. ( 0..^ M ) | ( Q ` t ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` w ) ) } , RR , < ) ) = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( ( u e. ( A (,] B ) |-> if ( u = B , A , u ) ) ` ( ( v e. RR |-> ( v + ( ( |_ ` ( ( B - v ) / T ) ) x. T ) ) ) ` x ) ) } , RR , < ) )
69	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 28, 42, 49, 53, 54, 55, 56, 57, 68	fourierdlem90 40413	1 |- ( ph -> ( F |` ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( V ` J ) (,) ( V ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  fourierdlem112  40435