Theorem fourierdlem90 40413

Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem90.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem90.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem90.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem90.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem90.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem90.6	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem90.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem90.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem90.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem90.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem90.h	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem90.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem90.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem90.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem90.J	|- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem90.17	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem90.u	|- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem90.g	|- G = ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
fourierdlem90.r	|- R = ( y e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) )
fourierdlem90.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem90	|- ( ph -> ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   y, G   f, H, y   x, H   f, I, k   i, I, x   i, J, x, y   i, L, x, y   i, M, x   m, M, p   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, i, k, x, y   y, U   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   R( x, y, f, i, k, m, p)   S( m)   T( f, m, p)   U( x, f, i, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   G( x, f, i, k, m, p)   H( i, k, m, p)   I( y, m, p)   J( f, k, m, p)   L( f, k, m, p)   M( y, f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem90

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem90.p	. . . . . . 7 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
2		fourierdlem90.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem90.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
4	1, 2, 3	fourierdlem11 40335	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
5	4	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
6	4	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
7	5, 6	iccssred 39727	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
8	4	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
9		fourierdlem90.J	. . . . . 6 |- L = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
10	5, 6, 8, 9	fourierdlem17 40341	. . . . 5 |- ( ph -> L : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
11		fourierdlem90.t	. . . . . . 7 |- T = ( B - A )
12		fourierdlem90.e	. . . . . . 7 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
13	5, 6, 8, 11, 12	fourierdlem4 40328	. . . . . 6 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
14		fourierdlem90.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR )
15		fourierdlem90.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
16		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. RR )
18		elioo4g 12234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
19	15, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
20	19	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C < D )
22		fourierdlem90.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
23		fourierdlem90.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
24		fourierdlem90.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
25		fourierdlem90.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
26	11, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25	fourierdlem54 40377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) )
27	26	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
28	27	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
29	27	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
30	22	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
32	28, 31	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
33	32	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
34		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
36		fourierdlem90.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
37		elfzofz 12485	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
39	35, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
40	13, 39	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( E ` ( S ` J ) ) e. ( A (,] B ) )
41	10, 40	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( A [,] B ) )
42	7, 41	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
43	5	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR* )
44		iocssre 12253	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
45	43, 6, 44	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
46		fzofzp1 12565	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
47	36, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
48	35, 47	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
49	13, 48	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( A (,] B ) )
50	45, 49	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
51		eqid 2622	. . 3 |- ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
52		fourierdlem90.u	. . . 4 |- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
53	48, 50	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
54	52, 53	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> U e. RR )
55		eqid 2622	. . 3 |- ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) )
56		fourierdlem90.g	. . . 4 |- G = ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
57		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = J -> ( j e. ( 0..^ N ) <-> J e. ( 0..^ N ) ) )
58	57	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) ) )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( S ` j ) = ( S ` J ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( E ` ( S ` J ) ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
65	61, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = J -> ( ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
66	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( I ` ( S ` j ) ) = ( I ` ( S ` J ) ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
68	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
70	67, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = J -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
71	65, 70	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = J -> ( ( ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) <-> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
72	58, 71	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
73	11	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
74	73	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
75	74	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
76	75	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( C [,] D ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) )
78	77	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
79	78	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
80	23, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
81		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> y = x )
82	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B - A ) = T
83	82	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = x -> ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T ) )
85	81, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
86	85	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
87	86	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
88	87	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
89	88	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
90	80, 89	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
91		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) ) = ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) )
92		fourierdlem90.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
93	11, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92	fourierdlem79 40402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) )
94	72, 93	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
95	94	anabsi7 860	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
96	36, 95	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
97	96	resabs1d 5428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
98	97	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
99	1, 2, 3, 11, 12, 9, 92	fourierdlem37 40361	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( L ` ( E ` x ) ) } ) ) )
100	99	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
101	100, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
102	101	ancli 574	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
103		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
104	103	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
108	105, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
109	108	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
110	108	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
111	109, 110	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) <-> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
112	104, 111	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
113		fourierdlem90.fcn	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
114	112, 113	vtoclg 3266	. . . . . . 7 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
115	101, 102, 114	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
116		rescncf 22700	. . . . . 6 |- ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -cn-> CC ) ) )
117	96, 115, 116	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -cn-> CC ) )
118	98, 117	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -cn-> CC ) )
119	56, 118	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -cn-> CC ) )
120		fourierdlem90.r	. . 3 |- R = ( y e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) )
121	42, 50, 51, 54, 55, 119, 120	cncfshiftioo 40105	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) -cn-> CC ) )
122	120	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> R = ( y e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) ) )
123	52	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
124	123	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
125	64, 61	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
126	63, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
127	125, 126	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
128	58, 127	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) ) )
129	80	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
130	129	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
131	24, 130	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
132		isoeq5 6571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
133	80, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
134	133	iotabii 5873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
135	25, 134	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
136		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
137	1, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136	fourierdlem65 40388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
138	128, 137	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
139	138	anabsi7 860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
140	36, 139	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
141	50	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
142	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
143	14, 17	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
144		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
145	143, 144	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ CC )
146	22, 29, 28	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
147	146, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( C [,] D ) )
148	145, 147	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. CC )
149	142, 148	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) e. CC )
150	42	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. CC )
151	141, 149, 150	subsub23d 39499	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
152	140, 151	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
153	152	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
155	141, 149	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) e. CC )
156	155, 142, 141	addsub12d 10415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
157	141, 149, 141	sub32d 10424	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
158	141	subidd 10380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = 0 )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
160		df-neg 10269	. . . . . . . . . 10 |- -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
161	142, 148	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
162	160, 161	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
163	157, 159, 162	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
165	142, 148	pncan3d 10395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( S ` J ) )
166	156, 164, 165	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` J ) )
167	124, 154, 166	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( S ` J ) )
168	52	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
169	141, 142	pncan3d 10395	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
170	168, 169	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
171	167, 170	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
172	171	mpteq1d 4738	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) ) = ( y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) ) )
173		fourierdlem90.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
174	173	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
175	174	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
176		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ RR
177	176	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) C_ RR )
178	177	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( F ` y ) ) )
179	56	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( G ` ( y - U ) ) = ( ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - U ) )
180	179	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( G ` ( y - U ) ) = ( ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - U ) ) )
181	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
182	181	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
183	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
184	183	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR* )
185	177	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
186	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> U e. RR )
187	185, 186	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - U ) e. RR )
188	39	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR* )
189	188	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` J ) e. RR* )
190	48	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* )
192		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
193		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S ` J ) e. RR* /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` J ) < y )
194	189, 191, 192, 193	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` J ) < y )
195	167	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( S ` J ) )
196	185	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. CC )
197	186	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> U e. CC )
198	196, 197	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( y - U ) + U ) = y )
199	194, 195, 198	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) < ( ( y - U ) + U ) )
200	181, 187, 186	ltadd1d 10620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( y - U ) <-> ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) < ( ( y - U ) + U ) ) )
201	199, 200	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( y - U ) )
202		iooltub 39735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S ` J ) e. RR* /\ ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR* /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y < ( S ` ( J + 1 ) ) )
203	189, 191, 192, 202	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y < ( S ` ( J + 1 ) ) )
204	170	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
205	203, 198, 204	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( y - U ) + U ) < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) )
206	187, 183, 186	ltadd1d 10620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( y - U ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> ( ( y - U ) + U ) < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) )
207	205, 206	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - U ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
208	182, 184, 187, 201, 207	eliood 39720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - U ) e. ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
209		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( y - U ) e. ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - U ) ) = ( F ` ( y - U ) ) )
210	208, 209	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - U ) ) = ( F ` ( y - U ) ) )
211	52	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( y - U ) = ( y - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
212	211	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - U ) = ( y - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
213	142	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
214	141	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
215	196, 213, 214	subsub2d 10421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( y + ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
216	214, 213	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
217	6, 5	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
218	11, 217	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T e. RR )
219	218	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. CC )
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> T e. CC )
221	5, 6	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
222	8, 221	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
223	222, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < T )
224	223	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T =/= 0 )
225	224	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> T =/= 0 )
226	216, 220, 225	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
227	226	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) )
228	227	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y + ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( y + ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) ) )
229	212, 215, 228	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( y - U ) = ( y + ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) ) )
230	229	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( y - U ) ) = ( F ` ( y + ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) ) ) )
231	173	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> F : RR --> CC )
232	218	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> T e. RR )
233	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
234		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
235		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
236	235	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
237	236	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
238	237	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
239	234, 238	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
240	239	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
241	6, 48	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
242	241, 218, 224	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
243	242	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
244	243	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
245	244, 218	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
246	48, 245	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
247	233, 240, 48, 246	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
248	247	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
249	244	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. CC )
250	249, 219	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
251	142, 250	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
252	248, 251	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
253	252	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
254	249, 219, 224	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
255	253, 254	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
256	255, 243	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
257	256	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
258		fourierdlem90.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
259	258	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
260	231, 232, 257, 185, 259	fperiodmul 39518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( y + ( ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
261	230, 260	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( F ` ( y - U ) ) = ( F ` y ) )
262	180, 210, 261	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( y - U ) ) )
263	262	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( F ` y ) ) = ( y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) ) )
264	175, 178, 263	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) |-> ( G ` ( y - U ) ) ) = ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
265	122, 172, 264	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> R = ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
266	171	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( L ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
267	121, 265, 266	3eltr3d 2715	1 |- ( ph -> ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  fourierdlem97  40420  fourierdlem98  40421  fourierdlem100  40423  fourierdlem107  40430  fourierdlem109  40432