Theorem fprod1p 14698

Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod1p.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
fprod1p.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
fprod1p.3	|- ( k = M -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
fprod1p	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   B, k   ph, k   k, M   k, N

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprod1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprod1p.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
4		elfzelz 12342	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		fzsn 12383	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
8	7	ineq1d 3813	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
9	5	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10	9	ltp1d 10954	. . . . 5 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
11		fzdisj 12368	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
13	8, 12	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( { M } i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
14		fzsplit 12367	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15	3, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
16	7	uneq1d 3766	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
17	15, 16	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) = ( { M } u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
18		fzfid 12772	. . 3 |- ( ph -> ( M ... N ) e. Fin )
19		fprod1p.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> A e. CC )
20	13, 17, 18, 19	fprodsplit 14696	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
21	19	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) A e. CC )
22		fprod1p.3	. . . . . . 7 |- ( k = M -> A = B )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> B e. CC ) )
24	23	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) A e. CC -> B e. CC ) )
25	3, 21, 24	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
26	22	prodsn 14692	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ B e. CC ) -> prod_ k e. { M } A = B )
27	3, 25, 26	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { M } A = B )
28	27	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. { M } A x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
29	20, 28	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) A = ( B x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fallfacfwd  14767  0fallfac  14768  etransclem4  40455  etransclem31  40482  etransclem35  40486