Theorem fprodsplit 14696

Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit.1	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
fprodsplit.2	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
fprodsplit.3	|- ( ph -> U e. Fin )
fprodsplit.4	|- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit	|- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   U, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fprodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
2	1	prodeq2i 14649	. . . 4 |- prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. A C
3		ssun1 3776	. . . . . 6 |- A C_ ( A u. B )
4		fprodsplit.2	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5	3, 4	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ U )
6	1	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = C )
7	5	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. U )
8		fprodsplit.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> C e. CC )
9	7, 8	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
10	6, 9	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
11		eldifn 3733	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ A ) -> -. k e. A )
12	11	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ A ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
13	12	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ A ) ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
14		fprodsplit.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. Fin )
15	5, 10, 13, 14	fprodss 14678	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. A if ( k e. A , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
16	2, 15	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) )
17		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( k e. B -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
18	17	prodeq2i 14649	. . . 4 |- prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. B C
19		ssun2 3777	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
20	19, 4	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U )
21	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = C )
22	20	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. U )
23	22, 8	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
24	21, 23	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
25		eldifn 3733	. . . . . . 7 |- ( k e. ( U \ B ) -> -. k e. B )
26	25	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( k e. ( U \ B ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
27	26	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( U \ B ) ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
28	20, 24, 27, 14	fprodss 14678	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. B if ( k e. B , C , 1 ) = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
29	18, 28	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. B C = prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) )
30	16, 29	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
31		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
32		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ 1 e. CC ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
33	8, 31, 32	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. A , C , 1 ) e. CC )
34		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ 1 e. CC ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
35	8, 31, 34	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> if ( k e. B , C , 1 ) e. CC )
36	14, 33, 35	fprodmul 14690	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( prod_ k e. U if ( k e. A , C , 1 ) x. prod_ k e. U if ( k e. B , C , 1 ) ) )
37	4	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. U <-> k e. ( A u. B ) ) )
38		elun 3753	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. B ) <-> ( k e. A \/ k e. B ) )
39	37, 38	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. U <-> ( k e. A \/ k e. B ) ) )
40	39	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( k e. A \/ k e. B ) )
41		fprodsplit.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
42		disjel 4023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ k e. A ) -> -. k e. B )
43	41, 42	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. k e. B )
44	43	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. B , C , 1 ) = 1 )
45	6, 44	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( C x. 1 ) )
46	9	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( C x. 1 ) = C )
47	45, 46	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
48	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> -. k e. B ) )
49	48	con2d 129	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. B -> -. k e. A ) )
50	49	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> -. k e. A )
51	50	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> if ( k e. A , C , 1 ) = 1 )
52	51, 21	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( 1 x. C ) )
53	23	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( 1 x. C ) = C )
54	52, 53	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
55	47, 54	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( k e. A \/ k e. B ) ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
56	40, 55	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. U ) -> ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = C )
57	56	prodeq2dv 14653	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. U ( if ( k e. A , C , 1 ) x. if ( k e. B , C , 1 ) ) = prod_ k e. U C )
58	30, 36, 57	3eqtr2rd 2663	1 |- ( ph -> prod_ k e. U C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodm1  14697  fprod1p  14698  fprodeq0  14705  fprod2dlem  14710  fprodsplitf  14719  fallfacval4  14774  fprodfvdvdsd  15058  prmdvdsprmo  15746  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem6  25097  fprodeq02  29569  prodpr  29572  prodtp  29573  prodfzo03  30681